Разложение в ряд Фурье.

Периодические сигналы можно представить в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

– не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

– число разрывов первого рода должно быть конечным;

– число экстремумов должно быть конечно (в качестве примера функции, не удовлетворяющей этому условию можно привести функцию в окрестности нуля).

Существует несколько форм записи ряда Фурье.

 

Синусно-косинусная форма.

, (11)

где , - кратная частота, называемая гармоникой.

Коэффициенты ряда , и рассчитываются по формулам:

; ; .

Если - четная функция, , - нечетная – .

 

Вещественная форма.

. (12)

Для четной функции и , для нечетной – .

 

Комплексная форма:

. (13)

Комплексные коэффициенты ряда связаны с вещественными следующими соотношениями:

, , .

Связь с синусно-косинусной формой:

, , . (14)

Расчет коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме:

. (15)

Если – четная, то - вещественные, если нечетная – мнимые.

Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называется амплитудным спектром, а совокупность их фаз – фазовым спектром.

Если анализируемый сигнал является вещественным, то его амплитудный и фазовый спектры обладают симметрией:

; ; . (16)