Статистическое изучение вариации
Тема 5
Основные вопросы: 1. Понятие вариации.
2. Показатели вариации.
3. Относительные показатели вариации.
4. Виды дисперсии.
1. Понятие вариации. При изучении совокупности явления нельзя ограничиваться только нахождением средней величины. Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, показывают типичные характеристики для изучаемой совокупности. Однако в средней величине не проявляется степень колеблемости отдельных значений признаков вокруг среднего уровня. В зависимости от однородности в совокупности колеблемость признаков может быть большой или малой. Поэтому возникает необходимость в измерении вариации отдельных вариантов по отношению к средней величине.
Определение: Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Вариация в переводе с латинского означает «колеблемость», «изменчивость», «непостоянство». Предполагая, что большинство социально-экономических явлений и процессов варьируют в некотором масштабе, статистика разработала методологию расчета показателей вариации, которые, в свою очередь, могут быть абсолютными, относительными и средними.
Величины признаков колеблются, варьируют под действием различных причин и условий, которые в статистике называют факторами. Нередко эти факторы действуют в противоположных направлениях и сами, в свою очередь, варьируют. Среди них есть существенные факторы, определяющие величину вариантов данного признака у всех единиц совокупности. Но есть и несущественные, которые на одни единицы совокупности могут оказывать влияние, на другие нет.
Например, вариация оценок студентов на экзамене в вузе вызывается, в частности, различными способностями студентов; временем, затраченным ими на самостоятельную работу; посещаемостью занятий; различием социально-бытовых условий и т.д. Но на оценку могут влиять и какие-либо привходящие, чисто случайные причины, например, временное недомогание.
Вариация, порождаемая существенными факторами, носит систематический характер, то есть наблюдается последовательное изменение вариантов признака в определенном направлении. Такая вариация называется систематической. В систематической вариации проявляются взаимосвязи между явлениями, их признаками, в такой связи – один как причина, другой как следствие его действия.
Вариация, обусловленная случайными факторами, называется случайной вариацией. Здесь не наблюдается систематического изменения вариантов зависимого признака от случайных факторов; все изменения носят хаотический характер, поскольку нет устойчивой связи этих факторов с единицами изучаемой совокупности.
Вариация зависимого признака, образовавшаяся под действием всех без исключения влияющих на него факторов, называется общей вариацией. Следовательно, общая вариация слагается из систематической и случайной вариации.
2. Показатели вариации. К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное (абсолютное) отклонение (с.л.о.), дисперсия, среднее квадратическое отклонение (с.к.о.), коэффициент вариации.
1) Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака:
.
Он характеризует пределы изменения признака.
Средний размах: 
– это есть средняя арифметическая из ряда размахов, полученных из серии равных по объему наблюдений. Используется в контроле качества.
Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и дает обобщенную характеристику.
Простейший показатель такого типа СЛО.
2). Среднее линейное отклонение (СЛО) – представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (учитывает только крайние значения признака и не учитывает все промежуточные).
– СЛО для несгруппированных данных: 
,
где 
– число членов ряда.
Т.е. 
– СЛО равно средней арифметической из абсолютных отклонений (модулей) признака всех единиц совокупности от средней арифметической.
– СЛО для сгруппированных данных: 
,
где 
– сумма частот вариационного ряда.
В формулах разности в числителе взяты по модулю, иначе в числителе всегда будет ноль – алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической.
Поэтому СЛО применяют редко, только в случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. Например, анализ состава рабочих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.
3) Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней арифметической (не имеет единиц измерения).
В общем виде взвешенная дисперсия исчисляется по формуле:
или простая дисперсия:
.
Дисперсия альтернативного признака:
4) Среднее квадратическое отклонение (СКО) ‑ это есть квадратный корень из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической:
– для несгруппированных данных;
– для сгруппированных данных (для вариационного ряда).
3. Относительные показатели вариации (коэффициент вариации). В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией зарплаты, выраженной в рублях.
Для осуществления такого сравнения, а также сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (КВ).
КВ – представляет собой выраженное в процентах отношение СКО к средней арифметической.
,
это и есть коэффициент вариации. Это относительная мера вариации и позволяет сравнивать степень варьирования в разных вариационных рядах.
4. Виды дисперсии.
Определение: Дисперсия – это средний квадрат отклонений всех значений признака ряда распределения от средней арифметической.
Свойства дисперсии:
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю (
);
2) Дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число (
);
3) Если все варианты умножить на число 
, дисперсия увеличится в 
раз 
;
4) Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонений от любого числа 
на 
– свойство минимальности дисперсии от средней (
).
Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство, переходят к дисперсии от средней.
Виды дисперсий для сгруппированных данных, условия их применения в статистических исследованиях.
Если совокупность данных сгруппирована на группы по какому-то признаку, то в этом случае выделяются 3 вида дисперсий:
- Общая дисперсия 
– Средняя из внутригрупповых дисперсий 
- Межгрупповая дисперсия 
Общая - измеряет вариацию во всей совокупности 
Средняя из внутригрупповых дисперсий исчисляется 
,
где 
– частота появления внутригрупповой дисперсии одной величины (одного размера).
– внутригрупповая 
- измеряет вариацию признака внутри группы, 
- групповая средняя.
Межгрупповая дисперсия – измеряет колеблемость групповых средних 
вокруг общей средней 
:
Она измеряет вариацию, обусловленную признаком, положенным в основу группировки.
Правило сложения дисперсий.
Общий закон (правило) сложения дисперсий ‑ Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.
Показывает значение фактора, положенного в основу группировки (из всей совокупности факторов).
Коэффициент детерминации – есть квадрат эмпирического корреляционного отношения.
Эмпирическое корреляционное отношение – есть корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей:
– характеризует влияние группировочного признака на результативный признак (оба показателя (числитель и знаменатель) не превышают по своей величине единицы: чем больше показатели в этих пределах, тем теснее взаимосвязь между изучаемыми признаками).
; 
– влияние других факторов равно 0.
– влияние признака равно 0.