Квадрики в евклидовом пространстве
1º. Упрощение уравнения квадрики
Определение квадрики, данное в §20 для аффинного пространства , сохраняется и для евклидова пространства . Но теперь уже используется только прямоугольные декартовы системы координат.
Пусть квадрика задана относительно ортонормированной системы координат общим уравнением вида: (1), где
Вначале производится линейное ортогональное преобразование переменных приводящее к каноническому виду квадратичную форму из левой части уравнения (1) (см.§23). Пусть оно имеет вид: (2), где .
С геометрической точки зрения это означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, получаемой из исходной с помощью вращения вокруг начала координат. Уравнение (1) квадрики примет вид:
(3)
где и коэффициенты не равны нулю.
Выделим полные квадраты:
(4)
Подвергнем систему координат параллельному переносу
(5) - это ортогональное преобразование ().
Вводя обозначение , получаем уравнение квадрики в новой ортонормированной системе координат:
, (6)
где и коэффициенты отличны от нуля.
При дальнейшем упрощении этого уравнения в общем случае уже не удается добиться того, чтобы все коэффициенты при квадратах координат были равны , так как при помощи отрицательного преобразования квадратичная форма не всегда приводится к нормальному виду. Поэтому в пространстве En уравнение квадрики в общем случае уже не удается привести к такому простому виду, как в пространстве An (нормальному виду).
Замечание 1: так как равные фигуры является также аффинно-эквивалентными, то проведённая в §21 аффинная классификация квадрик имеет место и в пространстве En . Однако не всякие аффинно-эквивалентные фигуры равны, поэтому каждый класс аффинной классификации разбивается на бесконечное множество классов так, что любые две квадрики из одного класса равны, а любые две квадрики из разных классов не равны. То есть в пространстве En появляются новые виды квадрик, отсутствующие в пространстве Аn .
2º. Классификация квадрик в трёхмерном евклидовом пространстве
Дадим полную классификацию квадрик в пространстве Е3 , для этого рассмотрим все частные случаи упрощения уравнения (6). .
Случай 1: m=n=3 , p ≠ 0.
Уравнение (6) принимает вид:
или
.
В зависимости от знаков чисел p1, p2, p3 и p уравнение принимает различные виды.
а) – эллипсоид.
Так как не всякие два эллипсоидаравны и даже подобны, в евклидовой геометрии (см. опр. (3) §14) имеется возможность классификации эллипсоидов и других квадрик (при n=3 поверхностей 2-го порядка). Если a≠ b≠ c, то эллипсоид называется трёхосным. Если равны какие - либо две из чисел a, b, c, то имеем эллипсоид вращения. Если же a=b=c, то эллипсоид является сферой. Эта классификация инвариантна относительно движений пространства En .
б) – мнимый эллипсоид.
в) – однополостный гиперболоид (при a=b - о.г. вращения).
г) - двуполостный гиперболоид (при a=с – д.г. вращения).
Случай 2:m=n=3, p=0.
Уравнение (6) принимает вид:
Возможны частные случаи:
а) – конус (при a=b – конус вращения).
б) – мнимый конус с вершиной в начале координат.
Случай 3: n=3, m=2, d3≠0.
Уравнение (6) принимает вид:
. .
Освободимся от свободного члена p с помощью параллельного переноса системы координат по формулам:
Получим уравнение: и его частные случаи:
а) – эллиптический параболоид (при a=b – э.п. вращения).
б) – гиперболический параболоид (или седловая поверхность).
Случай 4 (цилиндры 2-го порядка):
I. .
а) - эллиптический цилиндр (при - цилиндр вращения или
прямой круговой цилиндр).
б) - мнимый эллиптический цилиндр .
в) - гиперболический цилиндр.
II.
а) - пара пересекающихся по оси плоскостей.
б) - пара мнимых плоскостей, пересекающихся по оси .
III.
а) - пара различных параллельных плоскостей.
б) - пара мнимых параллельных плоскостей.
в)-пара совпавших с плоскостью плоскостей.
IV.где
то есть d2 и d3 не равны нулю одновременно,
Разделим обе части этого уравнения на p1 ≠0 и освободимся, как и в случае (3),от свободного члена p:
Обозначим и выполним ортогональное преобразование переменных (проверить!) по формулам:
Оно означает переход к новой прямоугольной декартовой системе координат, относительно которой квадрика будет иметь уравнение:
– параболический цилиндр.
Замечание 2:подсчёт получившихся канонических или простейших уравнений показывает, что в пространстве E3 существует семнадцать различных видов поверхностей 2-го порядка.