IV. Аксиомы скалярного умножения векторов
IV1:
= 
IV2: 
IV3: 
IV4:если 
,то >0
Если 
, то 
: 
Определение 2: отображение одного евклидова векторного пространства на другое называется изоморфным, если оно:
1.) биективно;
2.) линейно;
3.) сохраняет скалярное произведение векторов;
При этом два указанных векторных пространства называются изоморфными, если одно из них можно изоморфно отобразить на другое. Vn 
Vm 
n = m.
Определение 3: длиной (модулем, нормой) вектора 
называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата:
| | = 
= 
.
Очевидно: 
= 
, если = 0, то = 0; если же ≠ 0, то > 0.
Замечание 1: так как из равенства Коши – Буняковского 
следует, что -1 ≤ 
≤ 1 , то указанную дробь можно рассматривать как косинус некоторого аргумента 
(тэта – буква греческого алфавита).
Определение 4: число , для которого
= и 0 ≤ ≤
, (1)
называется углом между векторами и 
.
Если = 
, то векторы и ортогональны, причем 
= 0.
Если = 
,то 
и при к > 0 = 0, а при к < 0 = .
Замечание 2: из соотношения (1) следует формула скалярного произведения векторов:
(2)
Определение 5: базис евклидова векторного пространства 
называется ортонормированным, если его векторы единичны и попарно ортогональны:
и 
, 
, при 
.
Теорема 1: в ортонормированном базисе 
скалярное произведение векторов 
и 
выражается формулой:
(3)
□ 
(
…
)·(
…
)=
…
■
Следствия: 1.) 
…
(4)
2.) 
(5)
3.) 
(6)
2º. Ортогональные преобразования
Определение 6: квадратная матрица А называется ортогональной, если выполняется равенство:
(7)
Это соотношение равносильно любому из следующих:
(8)
где 
– единичная матрица, 
и 
– соответственно обратная и транспонированная для 
.
Если 
, 
, то из равенства (8) получаем соотношения:
(9)
Эти равенства показывают, что при транспонировании ортогональной матрицы получается также ортогональная матрица.
Так как 
, то 
, то есть 
– определитель ортогональной матрицы может быть равен +1 или -1 .
Замечание 3: формулы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису имею т ортогональную матрицу.
Определение 7: линейное преобразование 
евклидова пространства , называется ортогональным, если сохраняет длину любого вектора: 
.
Теорема 2: ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение векторов.
□ Для любых векторов и имеем:
или 
(10)
Аналогично:
(11)
Но - линейное преобразование, поэтому 
, причём из определения (7) имеем:
, , 
.
Равенство (11) перепишем в виде:
. (12)
Сравнивая (10) и (12), имеем требуемое: 
■
Следствие 1: ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами.
Следствие 2: ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис также в ортонормированный базис.
Замечание 4: справедливы следующие теоремы:
Теорема 3: для того чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица относительно какого-нибудь ортонормированного базиса была ортогональной.
Теорема 4: множество ортогональных преобразований евклидова векторного пространства является группой.
Определение 8: ортогональным преобразованием называется линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов, или изоморфное отображение евклидова векторного пространства на себя.