Изоморфизм аффинных пространств

Пусть имеется отображение аффинного пространства на аффинное пространство , при котором для точек M, NA_n =(M), =(N), причем – некоторое отображение векторного пространства на векторное пространство : : .

 

Определение 1: отображение называется ассоциированным с отображением , если при любом выборе точек M и N оно отображает вектор на вектор :

 

= ( ).

 

Определение 2: взаимно однозначное отображение аффинного пространства A_n на аффинное пространство называется изоморфизмом, если существует ассоциированное с ним изоморфное отображение пространства на пространство (оно биективно и (+)=()+(), (k) = k() – линейно).

 

Определение 3: аффинные пространства A_n и называются изоморфными, если существует изоморфное отображение одного из них на другое: ( ) = или .

 

Теорема (Признак изоморфизма аффинных пространств): для того, чтобы два аффинных пространства и были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы их размерности были одинаковыми.

 

□ Необходимость. Пусть пространства и изоморфны, тогда по определению ( 2 ) связанные с ними векторные пространства также изоморфны и поэтому имеют одинаковые размерности; но тогда совпадают и размерности пространств A_n и , то есть n = m.

 

Достаточность. Пусть аффинные пространства и имеют одну и ту же размерность n, докажем, что они изоморфны.

Введем в этих пространствах аффинные системы координат и устроим биективное отображение пространства A_n на пространство следующим образом: M(x_i)A_n(x_i)x_i = , ( i = 1, 2, …, n ).

Покажем, что отображение есть изоморфизм.

Рассмотрим отображение пространстви , связанных с A_n и , при котором соответствующими считаются векторы, которые имеют во введенных аффинных системах одинаковые координаты. Это отображение является ассоциированным с отображением . Действительно, пусть образами точек M(x_i) и N(y_i) при отображении являются соответственно точки () и (). Так как x_i = и y_i = , то имеем: =(y_i - x_i)=(- )=то есть вектор является образом вектора при отображении .

Докажем, что - изоморфное отображение на . Так как оно биективно, то достаточно убедиться в его линейности.

Пусть , , тогда , , a так как и , то , следовательно, вектор является образом вектора при .

Аналогично, образом вектора является вектор . Итак, отображение : - изоморфизм. Согласно определениям (2) и (3) пространства и изоморфизмы. ■