Аффинная система координат

1º. Выберем в пространстве A_n точку O и произвольный базис векторного пространства V_n, то есть такую упорядоченную систему векторов, что выполнены два условия:

а) система линейно независима;

б) любой вектор из V_n является линейной комбинацией векторов данной системы (через них линейно выражается).

Известно из курса алгебры, что в пространстве V_n существуют хотя бы один базис из n векторов и любой его базис состоит также из n векторов.

 

Определение 1: совокупность точки O и базиса называется аффинной системой координат или аффинным репером (репер (лат.) - метка) пространства и обозначается символом или короче .

 

Точку O назовем началом координат, а векторы - координатными векторами. Оси проходящие через точку O в направлении векторов , называют координатными осями и обозначают

Пусть M – произвольная точка пространства A_n, в котором задан репер . Разложим радиус-вектор точки M по базису :

(1)

(такое разложение всегда существует и единственно = ТЕОРЕМА)

Определение 2: числа называются координатами точки M в системе координат . Записывают или короче .

 

Таким образом, координатами точки M в репере называются координаты радиус-вектора этой точки в базисе .

(2)

 

Замечание 1: так как любой вектор имеет в данном базисе вполне определенные координаты, то координаты точки в данной системе координат определенны однозначно (установлена биекция между точками пространства A_n и упорядоченными наборами из n действительных чисел).

 

Теорема 1: координаты вектора равны разностям соответствующих координат точек N и M.

 

□ Пусть M() и N() в репере , тогда по аксиоме треугольника II , откуда имеем ■

 

2º. Переход к новой системе координат

Рассмотрим в пространстве A_n две аффинные системы координат: старую и новою

Пусть (3), то есть , а новые координатные векторы выражаются через старые по формулам:

 

 

причем, так как векторы базиса линейно независимы, то (5).

 

Теорема 2: если начало новой аффинной системы координат и старые и новые координатные векторы связаны соотношениями (3) и (4) при условии (5), то координаты произвольной точки M в старой системе координат выражается через ее координаты в новой системе координат по формулам.

, то есть

 

, при условии (6)

 

По условию имеем:

 

 

 

По аксиоме треугольника II имеем:

 

(10)

 

Подставим в (10) выражения из (3), (4), (8) и (7), получим следующее равенство:

 

 

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

 

(11)

 

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то коэффициенты при одинаковых векторах в левой и правой частях равенства (11) равны, следовательно, справедливы формулы (6), условие (5) также выполняется. ■

 

Определение 3: формулы (6) наз. формулами преобразования координат точки при переходе к новой АСК.

 

Замечание 2: как известно из курса алгебры, формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису имеют вид:

 

,

то есть:

 

(12)

 

где и .

 

Упражнение: в пространстве даны пять точек: , , , , . Записать формулы преобразования координат точек, положив:

, , , , .