Группа симметрий фигуры.

Формулы движений.

Пусть имеется некоторые движение f плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (x/;у/) – координаты ее образа М/ при движении f в этой же системе координат:

f .

Найдем аналитическое выражение движения f в системе координат , то есть формулы, связывающие координаты точки и ее образа при движении.

Теорема 1: движение 1-го рода задается формулами:

(1)

А движение 2-го рода задается формулами:

(2)

 

Доказательство.

1)

y
y/
 
 
M
x
y/
M/
/
/
O/
 
y
x
x/
x/
x
=
Пусть f – движение 1-го рода, причем согласно замечанию 2 (пункт 4) из §26 при движении прямоугольная декартова система координат отображается на прямоугольную декартову систему координат.

 

 

По определению движения имеем: ОМ=О/М/ - диагонали прямоугольников с вершинами М и М/ и сторонами на соответствующих … координат равны. Тогда равны и сами эти прямоугольники. Поэтому точка М/ имеет в системе координат те же самые координаты х, у, что и точка М в системе координат .

Применим к точке М/ теорему 2 из §11, учитывая, что движение первого рода типа системы координат:

> (3)

Где ( ) – «новые» ординаты точки М/ в «старой» системе координат , но теперь они равны и соответственно. В правой части равенств (3) стоят координаты точки М/ в «новой» системе координат , но теперь они равны х и у соответственно.

Заменим координаты х, у, координатами , , и таким образом получим формулы (1).

2) Если f – движение 2-го рода, то формулы (2)доказываются аналогично, если учесть, что движение 2-го рода изменяет ориентацию плоскости и тип системы координат на противоположные.

Замечания:

1) В формулах (1) и (2) - ( ) – координаты точки О/ - образа «старого» начала координат О – в «старой» системе координат : .

;

2) Формулы (1) и (2) можно объединить следующим образом:

где ε= 1. (1)

 

3) Имеет место теорема, обратная доказанной.

Теорема 2: всякое преобразование плоскости, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (1), является движением 1-го рода, а формулами (2) – движением 2-го рода;

4) Формулы движений имеют внешнее сходство с формулами перехода от одной системы координат к другой (см. §11). Однако, формулы движений связывают координаты двух точек – М и ее образа М/ - в одной и той же системе координат, а формулы перехода связывают одной и той же точки в разных системах координат – «старой» и «новой».

Частные случаи движений:

I. Движения 1-го рода:

1)

 

2)

вокруг начала координат на угол .

3)

симметрии с центром О (0;0).

II. Движения 2-го рода:

1)

с осью Ох.

2)

с осью Оу.

 

 

Пусть - множество всех движений плоскости, переводящих фигуру F в себя. Очевидно, если движения f и g принадлежат множеству , то их композиция и движениеg ° f и движение f-1: также принадлежат множеству : g ° f и f-1 . Следовательно, множество есть группа , которая является подгруппой группы D всех движений плоскости.

Определение 1: Если группа содержит элементы, отличные от тождественного преобразования е плоскости, то она называется группой симметрий фигуры F, а ее элементы – симметриями фигуры F. Если состоит из одного тождественного преобразования е, то говорят, что фигура F не имеет симметрий.

Примеры:

1)

А
B
F
120°
C
360°
240°
0°
Группа симметрий правильного ∆АВС с центром О состоит из шести элементов (преобразований): трех поворотов е= , , и трех осевых симметрий : =

 

2)

p
D
А
B
F
C
Группа симметрий равнобедренного треугольника ∆АВС состоит из двух элементов (преобразований): = , тождественного преобразования е и осевой симметрии . p⊥AB, AD=DB.

 

3) Группа симметрий разностороннего треугольника ∆АВС состоит из одного элемента – тождественного преобразования е. = , поэтому произвольный треугольник не имеет симметрий.

А
a
b
C
F
В
c

 


4)

D
d
O
p
A
B
N
M
C
Группа симметрий окружности с центром О радиуса r состоит из бесконечного числа элементов. Любое вращение с центром О и любое отражение от прямой, проходящей через точку О является симметрией окружности .

 

 

Определение 2: прямая d называется осью симметрии фигуры F, если f , где f – отражение от прямой d. Точка М0 называется центром симметрии фигуры F, если отражение от точки М0 принадлежит группе .

(здесь отражение от прямой – осевая симметрия относительно этой прямой; отражение от точки – центральная симметрия относительно этой точки).

Примеры:

5)

А
M
O
B
C
D
M/
Параллелограмм, отличный от прямоугольника или ромба, имеет один центр симметрии – центр параллелограмма – м не имеет осей симметрии;

 

 

6) Прямоугольник или ромб, отличные от квадрата, имеют один центр симметрии и две оси симметрии d1 и d2 – прямые, на которых лежат диагонали ромба или серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника;

А
А
С
В
В
С
D
D
O
O
d1
d2
d1
d2

 


7) Квадрат имеет один центр симметрии и четыре оси симметрии – прямые d1, d2, АВ, ВD.

А
В
С
D
О
d1
d2

 


8)

d1
d2
d0
F
K0
K
K/
l
N0
N
N/
M
M/
M0
Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров и осей симметрии. Пусть F – точка между параллельными прямыми d1 и d2, а d0 – прямая, параллельная d1 и d2 и отстоящая от них на равном расстоянии.

 

 

Тогда любая точка М0 прямой d0 является центром симметрии фигуры F, а любая прямая l⊥d0, является осью симметрии этой фигуры.