Взаимное расположение точки и прямой

Другие способы задания прямой

Замечания.

Общее уравнение прямой

Теорема 1. 1) Всякое уравнение первой степени вида

ax + by + c = 0, (1)

где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля, является уравнением прямой с нормальным вектором (a;b);

2) Обратно, уравнение любой прямой может быть записано в виде (1).

Доказательство.

1) Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений – пар чисел вида (x;y). Пусть (x₀;y₀) – одно из решений. Тогда:

ax₀+ by₀ + c = 0. (2)

Вычтем (2) из (1):

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0. (3)

По теореме 1 из §7 это уравнение определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀;y₀) и имеющую нормальный вектор (a;b).

2) Пусть дана некоторая прямая и M₀(x₀;y₀) – некоторая точка этой прямой, а (a;b) – нормальный вектор этой прямой. Согласно теореме 1 из §7 она имеет уравнение:

a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0.

Иначе:

ax + by - (ax₀- by₀) = 0 или

ax + by + c = 0, где c = -ax₀- by₀.

Теорема доказана.

1) Вектор (-b;a) является направляющим вектором прямой c уравнением (1). Действительно,

2) Любая алгебраическая линия 1-го порядка есть прямая линия.

Определение.Уравнение (1) называется общим уравнением прямой, а x и y – текущими координатами точки прямой.

Частные виды общего уравнения прямой.

1) r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> ax+by=0.

2) Координаты точки О – начала координат удовлетворяют уравнению: , следовательно прямая проходит через начало координат.

Пример 1.x + 2y = 0, M(-2;1).

y = 1 => x + 2 = 0, x = -2.

, .

Прямая параллельна оси Oy и отсекает на оси Ox отрезок a₀. Если a₀ = 0, то уравнение x = 0 задает ось ординат Oy.

3) .

, > .

Прямая параллельна оси Ox и отсекает на оси Oy отрезок b₀. Если b₀ = 0, то уравнение y = 0 задает ось абсцисс Ox.

Пример 2.Построим прямую, заданную уравнением 2x – 3y – 6 = 0.

Для построения прямой по её уравнению достаточно знать два элемента, определяющие её. Этими элементами могут быть: а) направляющий вектор и некоторая точка прямой; б) две точки, лежащие на прямой.

а) , M₀(6;2).

б) => => A(3;0) – точка пересечения данной прямой с осью Ox.

=> => B(0;-2) – точка пересечения данной прямой с осью Oy.

1⁰. Параметрические уравнения прямой

Пусть прямая l задана направляющим вектором (s₁;s₂) и точкой M₀(x₀;y₀). Точка M(x;y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда: || , то есть, когда существует число t такое, что или в координатах:

(1)

или

Определение 1.Равенства (1) называются параметрическими уравнениями прямой, а t – параметром.

Замечание.При изменении параметра t от до ( ) будут получаться различные точки данной прямой.

2⁰. Уравнение прямой в отрезках на осях координат

Пусть прямая не проходит через начало координат и пересекает обе оси координат: ось Ox в точке A(a;0), ось Oy в точке B(0;b). Тогда по теореме 2 из §7 имеем: или , или , так как a ≠ 0, b ≠ 0 => . (2)

Определение 2. Абсцисса a и ордината b точек пересечения прямой с осями координат Ox и Oy называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат.

Уравнение (2) называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.

3⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим не параллельную оси Oy прямую с уравнением:

где b ≠ 0.

Преобразуем это уравнение:

Обозначим: тогда получим:

. (3)

Определение 3.Уравнение (3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k называется угловым коэффициентом, число b₀ – “начальной ординатой” данной прямой.

Теорема.1) Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла φ между положительным направлением оси Ox и этой прямой; 2) “Начальная ордината” прямой есть ордината точки пересечения этой прямой с осью Oy.

Доказательство.

1) Пусть M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) – две точки данной прямой с уравнением (3), тогда:

где

Рассмотрим ∆M₁M₂N. Так как M₁N || Ox, то имеем:

Итак, .

2) Найдем ординату точки пересечения данной прямой с осью Oy:

Следствие.Прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через данную точку M₀(x₀;y₀), задается уравнением:

. (4)

Доказательство.

Точка M₀ лежит на данной прямой, тогда имеем:

(5)

Вычитая почленно из уравнения (3) уравнение (5), получим уравнение (4).

Замечание.Если прямая параллельна оси Oy, то и В этом случае прямая задается уравнением , так как уравнения (3) и (4) теряют смысл.

Теорема 1. Расстояние α от точки M₀(x₀;y₀) до прямой p с уравнением

(*)

выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть (a;b) – нормальный вектор прямой p, M₁(x₁;y₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую p. Тогда

Возможны два случая взаимного расположения и вектора :

Вычислим скалярное произведение двумя способами.

1 способ. , где .

, ;

Могут представиться случаи:

Тогда получаем: (2)

2 способ. , .

, так как и .

Итак, . (3)

Из (2) и (3) имеем: . (4)

Из (4) получаем:

или . (1)

Теорема 2. Координаты точек одной из полуплоскостей, на которые прямая с уравнением разбивает плоскость, удовлетворяют неравенству: , а координаты другой полуплоскости – неравенству: .

Доказательство.

Пусть точки находится в той полуплоскости, в сторону которой направлен нормальный вектор (рис. 1). Тогда , и из равенства (3) имеем: .

Если же точка лежит в другой полуплоскости, то , и из равенства (3) имеем: .

Теорема доказана.

Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от прямой с уравнением , то при подстановке их координаты в трехчлен получаются значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков.

Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и прямой .

Имеем по формуле (1):

;

M₀ ;

Таким образом, точка находится на расстоянии от данной прямой и лежит по разные стороны от неё с началом координат.

Пример 2. Задать аналитически треугольник, стороны которого лежат на прямых с уравнениями: , , .

- уравнение прямой в отрезках на осях координат.

, , .

1) ;

2) ;

3) .

- система неравенств, задающая внутреннюю область ∆АВС.

- система неравенств, задающая весь ∆АВС (объединение его сторон и внутренней области).

§ 11. Взаимное расположение двух прямых

Определение. Углом от прямой до прямой называется направленный угол Θ(тэта), удовлетворяющий условиям:

1) при повороте на него прямая совмещается с прямой ;

2) .

Теорема 1. Угол Θ от прямой с уравнением до прямой с уравнением выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть , , то есть ,.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых _, и оси .

По теореме о внешнем угле треугольника имеем:

или; или;

В обоих случаях получаем:

Теорема доказана.

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

Доказательство.

Следствие 2. Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

Доказательство.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой с уравнением .

Решение:

1) Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .

2) Найдем угловой коэффициент данной прямой:

3) Найдем угловой коэффициент искомой прямой: .

4) Записываем уравнение искомой прямой:

Теорема 2. Угол от прямойс уравнением (2)

и прямой с уравнением (3)

выражается формулой:

(4)

Доказательство.

Запишем уравнения данных прямых (общие) в виде уравнений с угловым коэффициентами:

, , .

Подставим значения и в формулу (1):

Теорема доказана.

Замечание 1.Формула(4)может использоваться и в случае (прямые и параллельны оси и ).

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

Замечание 2. Если выполняются соотношения , то уравнения (2) и (3) эквивалентны, а прямые и совпадают (параллельны в широком смысле). Если же , то система из уравнений (2) и (3) несовместна, а прямые и не имеют общих точек (параллельны в узком смысле).

Следствие 2.Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

Замечание 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых могут быть выведены и иначе. Пусть и - нормальные векторы данных прямых. Тогда имеем:

1) для параллельных прямых и векторы и коллинеарны, тогда или , .

2) для перпендикулярных прямых и векторы и ортогональны, тогда или , .

Пример. Найти угол между медианой CD и стороной AB треугольника с вершинами: , , .

Решение.

1) Уравнение медианы CD данного треугольника ABC уже было найдено ранее: (смотри пример из §7).

Для этого сначала нашли точку D как середину отрезка AB.

Затем составили уравнение прямой CD как прямой, проходящей через две данные точки C и D.

2) Составляем аналогично уравнение прямой AB:

или или .

3) угол между прямыми CD и AB:

1 способ:

2 способ: