Переход к новой аффинной системе координат
Деление отрезка в данном отношении
Аффинная система координат
I. Метод координат на плоскости
Определение 1. Аффинной системой координат или аффинным репером называется совокупность некоторой точки О и некоторого базиса ( , ). (аффинное = родственное, репер = метка).
Точка О называется началом координат, и - координатными векторами.
Если базис ( , ) – правый, то аффинная система координат называется правой, если базис левый, то – левой.
Определение 2.Осью называется прямая с выбранным на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком. Две оси, проходящие через начало координат и имеющие направления векторов и , называются соответственно осью абсцисс и осью ординат или координатными осями.
Четыре части, на которые они делят плоскость, называются координатными углами или квадрантами.
Обозначения: ось абсцисс – , ;
ось ординат – , ;
система координат - , .
Правая система координат
|
Левая система координат
|
Определение 3. Радиус-вектором точки М плоскости называется вектор . Его координаты x и y в базисе ( , ) называются координатами точки М в аффинной системе координат, при этом х называется абсциссой, у – ординатой.
Обозначение: , , .
По определению: .
x
y
Определение 4. Плоскость называется ориентированной, если на ней выбрана какого-либо вида аффинная система координат – правая или левая и, следовательно, определено направление отсчета углов (против или по часовой стрелке). Система координат выбранного вида называется положительно ориентированной, а выбранное направление отсчета углов – положительным.
Замечание. Будем считать плоскость положительно ориентированной, на ней выбрана правая система координат и, следовательно, положительным направлением отсчета углов – против часовой стрелки.
Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:
(1)
Обозначение: λ=(AB,M)
| А |
| M |
| B |
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:
1) λ>0 , точка М лежит внутри отрезка АВ, .
λ=1 , М – середина отрезка АВ.
2) λ=0 , - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.
3) λ<0 , точка М лежит вне отрезка АВ, .
| А |
| M |
| B |
Замечание: λ -1 , т. к. в этом случае или и и , то есть .
Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х1;у1) и концом В(х2;у2), то
, . (2)
Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам: , .
Из условия равенства векторов и имеем:
Теорема доказана.
Следствие. Если М – середина направленного отрезка , то λ=1 и
(3)
Рассмотрим две аффинные системы координат. Одну из них обозначим и назовем старой, другую обозначим и назовем ее новой.
Теорема. Пусть 1) начало координат и координатные векторы новой системы имеют в старой системе координаты: , , ; 2) произвольная точка М имеет в старой системе координаты x, y, а в новой системе координаты . Тогда имеют место формулы:
, где . (*)
Доказательство.
| x |
| y |
СТАРАЯ СИСТЕМА НОВАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ КООРДИНАТ
По определению координат точек и векторов имеем для старой системы координат :
; (1)
(2)
. (3)
Для новой системы координат аналогично имеем:
. (4)
Подставим выражения и из (2) в (4):
. (5)
По правилу треугольника имеем:
. (6)
Подставим в это равенство выражения (3), (1) и (5):
+++++.
Приведем подобные члены:
+ = + .
Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то формулы (*) справедливы:
(*)
Теорема доказана.