Виды задач оптимизации.

 

В общем случае задача оптимизации может быть записана следующим образом:

Система (1) представляет собой общий случай математической постановки задачи оптимизации. Она включает целевую функцию Е = f (x_j); ограничения g_i (x_j) <= b_i; граничные условия d_i<= x_j <= D_j. Суть такой постановки задачи заключается в следующем: необходимо определить такие значения x_{j ,} которые, находясь в граничных условиях d_j<= x_j <= D_j , удовлетворяли бы ограничениям g_i (x_j) <= b_i и при этом придавали бы целевой функции Е = f (x_j) искомое оптимальное значение.

Функция f (x) имеет максимум в точке x = a, если, в достаточной близости от этой точки всем значениям x (как большим, так и меньшим a) соответствуют значения f (x) меньшие, чем f (a). Функция f (x) имеет минимум в точке x = a, если в достаточной близости от этой точки всем значениям x соответствуют значения f (x) большие, чем f (a).

Максимум и минимум объединяются понятием “экстремум”.(Латинское слово “экстремум” означает “крайнее”). Экстремум не может быть на границе рассматриваемого интервала. В задачах оптимизации нас интересует наибольшее (наименьшее) значение целевой функции, включая значения целевой функции на границах d_j<= x_j <= D_j. Наибольшее (наименьшее) значение целевой функции, включая ее значения на границах интервала [d_jD_j], называют оптимальным значением или оптимумом.

Если при нахождении экстремума накладываются дополнительные условия – ограничения на зависимости между переменными – то экстремум называется условным. Поскольку оптимум, как правило, определяется при наложении ряда дополнительных условий – ограничений, термин “условный оптимум” обычно не применяется. Задача (1) представляет собой задачу нахождения оптимума.

В каждом конкретном случае система (1) определяется видом переменных x_j и зависимостей f (x_j) и g_i (x_j). Различные виды переменных и зависимостей между ними требуют различных методов решения задачи оптимизации. В зависимости от классов математических описаний задач элементы системы (1) могут быть различными (рис. 1).

1. Зависимости между переменными в (1) входят в

 

 

ограничения и целевую функцию. По виду действия над переменными зависимости могут быть алгебраическими и дифференциальными. Задачи, содержащие дифференциальные зависимости в функции времени, называются задачами оптимального управления или реже – динамической оптимизации.