Касательная плоскость к сфере.

Опр: Плоскость имеющая со сферой только одну общую току называется касательной плоскостью к сфере, общая точка касания.

Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство: (стр.132)

Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис.). Докажем, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость α - касательная, т.е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказы­вает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

 

Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство: (стр. 132)

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной.