Мультипликативная функция полезности

Прежде чем переходить к рассмотрению условий сущес твования мультипликативной функции, введём определение независи мости критерия от своего дополнения.

Определение 1. Критерий k_j независим по полезности от своего дополнения , если функция полезности представляется в виде:

, (1)

где – функция от дополнения k_j.

 

Поясним содержательный смысл (1). Для этого постро им функцию полезности в зависимости от одного критерия k_j (рис.3.1). Это не что иное, как условная функция полезности при фиксированном дополнении. Условная функция изменяется в интервале .

Перейдём к другой условной функции полезности, поменяв значения критериев, входящих в дополнение,на .

На рис.3.1 изображена и вторая условная функция с ин тервалом изменения .

Условие (3.1) означает, что две любые условные функции полезности связаны между собой положительным линейным преобразованием. Действительно,

 

Откуда

,

где ; .

С учетом вышеприведён ной интерпретации условия (1), проверка независимости по полезности критерия от своего дополнения достаточно проста. Для этого необхо димо зафиксировать дополне ние (например, ) и по строить условную функцию полезности от одного крите рия, приняв , а (рис.3.2). Назо вём такую функцию нормиро ванной условной функцией полезности.

Нормированная условная функция должна отражать из менения предпочтения многокритериального объекта при изме нении только одного критерия.

Поменяв значения критериев, входящих в дополнение на , вновь построим нормированную условную функцию. Если эта функция не изменяется при изменении дополнения, то, значит, выполняется условие независимости по полезности критерия от своего дополнения. Тогда нормированная условная функция полезности не зависит от , поэтому её будем обозначатьU_j(k_j).

Рассмотрим мультипликативную функцию полезности для случая двух критериев k₁ и k₂.

Теорема. Если k₁ независим по полезности от k₂, а k₂ – от k₁, то функция полезности имеет вид:

(2)

где U₁(k₁),U₂(k₂)– нормированные условные функции полез ности; W₁, W₂ – шкалирующие коэффициенты.

Без доказательства.

.

Шкалирующие коэффициенты определяются на основе оценок ЛПР по следующим псевдообъектам.

 

Определение шкалирующих коэффициентов

Оцениваемые объекты			Оценки объектов
Объект В+			1.0
Псевдообъект В1			W1
Псевдообъект В2			W2
Объект В-			0.0

 

При числе критериев больше двух мультипликативная функция полезности имеет вид:

,

где U_j(k_j) – нормированные условные функции полезности; W_j – шкалирующие коэффициенты; С – масштабный коэффициент.

 

Параметры мультипликативной функции полезности:

а) шкалирующие коэффициенты определяются ЛПР через оценки псевдообъектов;

б) масштабный коэффициент C определяется из условия . Подставляя значения в (10), получим уравнение для определения C:

.

Данное уравнение m-й степени имеет корень C=0 и ещё m-1 корней. В функции (11) может быть использован мас штабный коэффициент, больший минус единицы.

Рассмотрим частные случаи мультипликативной функции.

Случай трех критериев. Мультипликативная функция имеет вид

.

Масштабный коэффициент определяется из уравнения

1 + C = ( l + CW₁ )( l + CW₂ )( l + CW₃ ).

Раскрыв правую часть и приведя подобные, получим квадратное уравнение

C²W₁W₂W₃ + C( W₁W₂ + W₁W₃ + W₂W₃ )+W₁ +W₂ +W₃ –1=0.

Один из квадратных корней квадратного уравнения будет больше -1, он является искомым и используется в (12).