Интервальные оценки.
Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Статистические гипотезы
ЛЕКЦИЯ 17
(продолжение)
Все оценки, рассмотренные в предыдущей лекции – точечные. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, то есть приводит к грубым ошибкам. По этой причине наряду с точечным оцениванием статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания, которым следует пользоваться при небольшом объёме выборки. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри него находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание, ещё раз это отметим, особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадёжна.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок (смысл этих понятий выясним ниже).
Итак, пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика 
служит оценкой неизвестного параметра 
. Будем считать постоянным числом (может быть и случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности 
. Другими словами, если 
и 
, то, чем меньше 
, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.
К сожалению статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности 
, с которой это неравенство осуществляется.
Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство , то есть
Обычно, надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надёжность, равную 0,95; 0,99; 0,999.
Согласно определению
.
Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал 
заключает в себе (покрывает[30]) неизвестный параметр равна .
Доверительным называют интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .
Метод доверительных интервалов разработан американским статистиком Ю.Нейманом, исходя из идей английского статистика Р.Фишера.
Доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения и при условии, что случайная величина (количественный признак 
) распределена нормально, задаётся выражением:
,
где – наперёд заданное число, близкое к единице, 
– функция Лапласа, значения которой приведены в соответствующей таблице, 
.
Смысл полученного соотношения таков: с надёжностью можно утверждать, что доверительный интервал 
покрывает неизвестный параметр при точности оценки 
. Заметим, что число 
определяется из равенства 
, или 
; по таблице значений функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение равное 
.
Замечание: оценку 
называют классической. Из формулы , определяющей точность классической оценки, моно сделать следующие выводы:
- при возрастании 
– объёма выборки число убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается;
- увеличение надёжности 
приводит к увеличению (так как функция является возрастающей), а следовательно, и к возрастанию . Другими словами, увеличение надёжности классической оценки влечёт за собой уменьшение её точности.
ПРИМЕР 1. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением 
. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания 
(или, что тоже самое, для оценки неизвестной генеральной средней 
) по выборочным средним 
, если объём выборки 
и задана надёжность оценки 
Решение. Найдём, прежде всего, . Из соотношения 
получим 
. Далее, по таблице находим 
. Теперь, найдём точность оценки:
.
Доверительные интервалы таковы: 
. Например, если 
, то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы:
Таким образом, значения неизвестного параметра (или ), согласующиеся с данными выборки находятся в интервале 
.
Подчеркнём, что было бы ошибочным написать: 
. Действительно, так как – постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 
достоверно и его вероятность равна единице), либо в нём не заключена (в этом случае событие невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было сказано, изменяются от выборки к выборке.
Поясним смысл, который имеет заданная надёжность. Надёжность указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр (или ) действительно заключён; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.
Замечание: если требуется оценить математическое ожидание (генеральную среднюю) с наперёд заданной точностью и надёжностью , то минимальный объём выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле:
(как следствие равенства ).
Нетрудно показать, что доверительный интервал для генеральной средней (математического ожидания ) нормально распределённого признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задаётся выражением:
,
где 
– «исправленное» среднее квадратическое отклонение, параметр 
находят по заданным значения и из соответствующих таблиц (и наоборот, по заданным и находят вероятность ). Отсюда следует, что с надёжностью можно утверждать, что доверительный интервал 
покрывает неизвестный параметр .
ПРИМЕР 2. Количественный признак генеральной совокупности распределён нормально. По выборке объёма 
найдены выборочная средняя 
и «исправленное» среднее квадратическое отклонение 
. Оценить неизвестную генеральную среднюю с помощью доверительного интервала с надёжностью .
Решение. Пользуясь таблицей (см. приложения), по известным значениям и находим 
. Тогда, доверительные границы:
Итак, с надёжностью неизвестный параметр , заключён в доверительном интервале 
.