Числовые характеристики выборки
ЛЕКЦИЯ 15
В качестве одной из важнейших характеристик вариационного ряда применяют среднюю величину. Математическая статистика различает несколько типов средних величин: арифметическую, геометрическую, гармоническую, квадратическую, кубическую и др. Все перечисленные типы средних могут быть рассчитаны для случаев, когда каждая из вариант вариационного ряда встречается только один раз (тогда средняя называется простой, или невзвешенной) и когда варианты или интервалы повторяются. При этом число повторений вариант или интервалов называют частотой, или статистическим весом, а среднюю, вычисленную с учётом статистического веса, – взвешенной средней.
Для характеристики вариационного ряда один из перечисленных типов средних выбирается не произвольно, а в зависимости от особенностей изучаемого явления и цели, для которой среднее вычисляется.
Практически при выборе того или иного типа средней следует исходить из принципа осмысленности результата при суммировании или при взвешивании. Только тогда средняя применена правильно, когда в результате взвешивания или суммирования получаются величины, имеющие реальный смысл.
Обычно затруднения при выборе типа средней возникают лишь в использовании средней арифметической, или гармонической. Что же касается геометрической и квадратической средних, то их применение обусловлено особыми случаями (см. далее).
Следует иметь в виду, что средняя только в том случае является обобщающей характеристикой, если она применяется к однородной совокупности. В случае использования средней для неоднородных совокупностей можно прийти к неверным выводам. Научной основой статистического анализа является метод статистических группировок, то есть расчленения совокупности на качественно однородные группы.
Все указанные типы средних величин можно получить из формул степенной средней. Если имеются варианты 
, то среднюю из данных вариант можно рассчитать по формуле простой невзвешенной степенной средней порядка 
:
.
При наличии соответствующих частот 
средняя рассчитывается по формуле взвешенной степенной средней:
Здесь 
– степенная средняя; – показатель степени, определяющий тип средней; 
– варианты; 
– частоты или статистические веса вариантов.
Средняя арифметическая получается из формулы степенной средней при подстановке значения 
:
- невзвешенная (простая) 
;
- взвешенная 
.
Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения 
:
- невзвешенная (простая) 
;
- взвешенная 
.
Средняя гармоническая вычисляется тогда, когда средняя предназначается для расчёта сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, то есть, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины 
.
Средняя квадратическая получается из формулы степенной средней при подстановке 
:
- невзвешенная (простая) 
;
- взвешенная 
.
Средняя квадратическая используется только тогда, когда варианты представляют собой отклонения фактических величин от их средней арифметической или от заданной нормы.
Средняя геометрическая получается из формулы степенной средней при предельном переходе 
:
- невзвешенная (простая) 
;
- взвешенная 
.
Вычисления средней геометрической в значительной мере упрощаются, если воспользоваться логарифмированием. В этом случае получаем:
- для невзвешенной (простой) средней геометрической 
,
- для взвешенной 
.
Таким образом, логарифм средней геометрической есть средняя арифметическая из логарифмов вариант. Средняя геометрическая используется главным образом при изучении динамики. Средние коэффициенты и темпы роста также рассчитывают по формулам средней геометрической.
Если вычислить различные типы средних для одного и того же вариационного ряда, то числовые их значения будут различаться. При этом средние по своей величине расположатся в определённом порядке. Наименьшей из перечисленных средних окажется средняя гармоническая, затем геометрическая и т. д., наибольшей будет средняя квадратическая. При этом порядок возрастания средних определяется показателем степени в формуле степенной средней. Так, при получаем среднюю гармоническую, при 
– геометрическую, при – арифметическую, при – квадратическую:
.
В качестве характеристики вариационного ряда используют медиану 
, то есть такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного вариационного ряда. Если в вариационном ряду 
случаев, то значение признака у случая 
будет медианным. Если в ряду чётное число 
случаев, то медиана равна средней арифметической из двух серединных значений. Таким образом, медиана рассчитывается по формуле
- при нечётном количестве вариантов: 
,
- при чётном: 
.
При расчёте медианы интервального вариационного ряда сначала находят интервал, содержащий медиану, путём использования накопленных частот (или относительных частот). Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот (или относительных частот), превышающая половину всего объёма совокупности. Для нахождения медианы при постоянстве плотности внутри интервала, содержащего медиану, используют формулу:
,
где 
– нижняя граница медианного интервала; 
– величина медианного интервала; 
– накопленная частота интервала, предшествующая медианному; 
– частота медианного интервала.
Медиану можно также определить графически – по кумуляте. Для этого последнюю ординату, пропорциональную суме всех частот (или относительных частот), делят пополам. Из полученной точки восстанавливают перпендикуляр до пересечения с кумулятой. Абсцисса точки пересечения – значение медианы.
Медиана обладает таким свойством: сумма абсолютных величин отклонений вариантов от медианы меньше, чем от любой другой величины (в том числе и от средней арифметической). Другими словами:
.
Это свойство медианы можно использовать при проектировании расположения трамвайных и троллейбусных остановок, бензоколонок и т. д.
ПРИМЕР. На шоссе 100км имеется 10 гаражей. Для проектирования строительства бензоколонки были собраны данные о числе предполагаемых поездок на заправку с каждого гаража. Результаты обследования приведены в следующей таблице:
| На каком километре шоссе расположен гараж | Всего поездок | ||||||||||
| Проектируемое число поездок |
Бензоколонку нужно поставить так, чтобы общий пробег машин на заправку был наименьшим.