Генеральная и выборочная совокупности

Задачи математической статистики

Выборочный метод

ЛЕКЦИЯ 14

Э Л Е М Е Н Т Ы М А Т Е М А Т И Ч Е С К О Й С Т А Т И С Т И К И

Математическая статистика возникла (XVII в.) и создавалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина ХІХ и начало ХХ вв.) обязано, в первую очередь, П.Л.Чебышеву, А.А.Маркову, А.М.Ляпунову, а также К.Гауссу, А.Кетле, К.Пирсону и др.

В ХХ в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров и др.), а также английскими (Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон) и американскими (Ю.Нейман, А.Вальд) учёными.

Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных – результатах наблюдений, то есть основу исследований в математической статистике составляют данные наблюдений или опытов над случайными величинами. Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений, в том числе определение объёма необходимых экспериментов до начала и в ходе исследования. Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных, в зависимости от целей исследования.

Изучение тех или иных явлений методами математической статистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых наукой и практикой (правильная организация технологического процесса, наиболее целесообразное планирование и др.).

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

 

 

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

 

Выборочной совокупностью, или просто выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

 

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

 

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

 

Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объём генеральной совокупности N = 1 000, а объём выборки n = 100.

 

Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводов, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объёма генеральной совокупности (достаточно большого объёма) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. При этом, что важно, для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной(представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, при этом все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

При составлении выборки можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращён, либо не возвращён в генеральную совокупность. В соответствии с этим, выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Если объём генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборкам стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объём, это различие исчезает.

 

На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относится, так называемый, простой случайный отбор (как повторный, так и бесповторный), то есть отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся:

- типический отбор – отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой её «типической» части (например, если детали изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведённых всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности);

- механический отбор – отбор, при котором генеральная совокупность «механически» делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и затем из каждой группы отбирается один объект (например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь и т. д.);

- серийный отбор – отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Заметим, что серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.