Теорема Чебышева

Для доказательства теоремы Чебышева (да и других теорем, в том числе) воспользуемся одноимённым неравенством. Неравенство Чебышева (как впрочем и теорема) справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Мы ограничимся, например, доказательством неравенства для непрерывной случайной величины.

НЕРАВЕНСТВО Чебышева[12]: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х, имеющей конечную дисперсию , от её математического ожидания по абсолютной величине на меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной , то есть, справедливо неравенство:

Доказательство: По определению дисперсии для непрерывной случайной величины можем записать

Выделим на числовой оси Ох -окрестность точки (см. рис.). Заменим теперь интегрирование по всей оси интегралом по переменной х на множестве . Так как под знаком интеграла стоит неотрицательная функция[13], то результат интегрирования в результате может только уменьшиться, то есть

Интеграл в правой части полученного неравенства – это вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения вне интервала . Значит

Неравенство доказано.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто даёт грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если и, следовательно, ; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения находится в пределах от нуля до единицы, а это и без того очевидно, так как любая вероятность удовлетворяет этому условию.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Оценка, полученная Чебышевым, является универсальной, она справедлива для любых случайных величин, имеющих и .

ПРИМЕР.Найти вероятность выхода случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию , за трёхсигмовые границы.

Решение. Воспользуемся неравенством Чебышева:

Сравним полученный результат с тем, который следует из правила трёх сигм для нормального закона распределения:

Нетрудно сделать ВЫВОД: случайные величины, встречающиеся на практике, чаще всего имеют значительно меньшую вероятность выхода за трёхсигмовые границы, чем 1/9. Для них область является областью практически возможных значений случайной величины.

ТЕОРЕМА Чебышева (частный случай): Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание М(Х),и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к их математическому ожиданию, то есть имеет место равенство:

Доказательство. Применим к случайной величине неравенство Чебышева:

Заметим (по условиям теоремы), что для дисперсии справедливы соотношения:

, то есть .

Тогда, согласно неравенству Чебышева

Переходя к пределу при получаем

А так как вероятность не может быть больше единицы, то отсюда и следует утверждение теоремы.

Теорема Чебышева была обобщена на более общий случай, доказательство которой проводится аналогично доказательству, предложенному выше.

ТЕОРЕМА Чебышева (общий случай): Пусть Х₁, Х₂, …, Х_n – попарно независимые случайные величины, и пусть дисперсии этих величин равномерно ограничены (то есть не превышают некоторого постоянного числа С). Тогда, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть имеет место равенство: