Массовые явления и закон больших чисел

Закон больших чисел

ЛЕКЦИЯ 10

 

 

Огромный опыт, накопленный человечеством, учит нас, что явления, имеющие вероятность, весьма близкую к единице, почти обязательно происходят. Точно так же события, вероятность наступления которых очень мала (иными словами, очень близка к нулю), наступают очень редко. Это обстоятельство играет основную роль для всех практических выводов из теории вероятностей, так как указанный опытный факт даёт право в практической деятельности считать мало вероятные события практически невозможными, а события, происходящие с вероятностями, весьма близкими к единице, практически достоверными. При этом на вполне естественный вопрос, какова должна быть вероятность, чтобы мы могли событие считать практически невозможным (практически достоверным), однозначного ответа дать нельзя. И это понятно, так как в практической деятельности необходимо учитывать важность тех событий, с которыми приходится иметь дело.

Так, например, если бы при измерении расстояния между двумя пунктами оказалось, что оно равно 5340м и ошибка этого измерения с вероятностью 0,02 равна или больше (или меньше) 20м, то мы можем пренебречь возможностью такой ошибки и считать что расстояние действительно равно 5340м. Таким образом, в данном примере мы считаем событие с вероятностью 0,02 практически несущественным (практически невозможным) и в своей практической деятельности его не учитываем. В то же время в других случаях пренебрегать вероятностями 0,02 и даже ещё меньшими нельзя. Так, если при строительстве большой гидроэлектростанции, требующей огромных материальных затрат и человеческого труда, выяснилось, что вероятность катастрофического паводка в рассматриваемых условиях равна 0,02, то эта вероятность будет сочтена большой и при проектировании станции она должна быть обязательно учтена, а не отброшена, как это было сделано в предыдущем примере.

Таким образом, только требования практики могут нам подсказать критерии, согласно которым мы будем считать те или иные события практически невозможными или практически достоверными.

В то же время необходимо заметить, что любое событие, имеющее положительную вероятность, пусть даже близкую к нулю, может произойти. И если число испытаний, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью, очень велико, то вероятность хотя бы однократного его появления может стать сколь угодно близкой к единице. Это обстоятельство постоянно следует иметь в виду.

Из сказанного понятно, что в практической деятельности, да и в общетеоретических задачах, большое значении имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице; при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных фактов.

Действительно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Наличие связи между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин, проявляемой в большом числе опытов, позволяет предугадывать результаты массовых случайных явлений долей уверенности. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в ряде предельных теорем, одна группа которых объединена под общим названием «Закон больших чисел», другая же – под общим названием «Центральная предельная теорема».

Закон больших чисел состоит из теорем Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы), в которых доказывается приближение при определённых условиях среднего арифметического случайных величин к некоторым случайным характеристикам. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим.

В другой же группе предельных теорем, объединённых под общим названием «Центральная предельная теорема», устанавливается факт приближения при определённых условиях закона распределения суммы случайных величин к нормальному закону распределения. Математически это выражается в виде условий, которые должны выполняться для рассматриваемых случайных величин, то есть необходимо выполнение некоторых условий для случайных величин , при которых суммарная случайная величина распределена по нормальному закону.

 

Таким образом, закон больших чисел и центральная теорема составляют две группы предельных теорем теории вероятностей, которые в совокупности позволяют вполне обоснованно осуществлять прогнозы в области случайных явлений, давая при этом оценку точности производимых прогнозов.