Гипергеометрическое распределение

 

Гипергеометрическое распределение играет важную роль в области статистического контроля качества.

Будем говорить, что дискретная случайная величина Х, принимающая целочисленные значения X={0,1,2,…,n}, распределена по гипергеометрическому закону, если вероятности этих значений определяются выражением

 

,

 

где N – объём партии изделий;

n – объём выборки из данной партии изделий;

D – число дефектных изделий в данной партии изделий;

d – число дефектных изделий в соответствующей выборке изделий.

 

 

Свойства гипергеометрического распределения:

 

1. (доказать самостоятельно);

 

2. (доказать самостоятельно);

 

3. при гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному распределению (о котором поговорим немного позднее).

 

ПРИМЕР 3.Партия из 100 изделий содержит 10% брака. Для контроля выбрано 5 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в выборке меньше двух бракованных изделий. Найти для случайной величины Х – числа дефектных изделий в данной выборке изделий.

Решение. Данная дискретная случайная величина Х={0,1,2,3,4,5}очевидно подчиняется гипергеометрическому закону распределения вероятностей. В нашем случае N = 100, D = 10, n = 5. Вероятность того, что в выборке ровно d бракованных изделий равна

.

 

Вычислим (приближённо) значения и запишем их в таблицу

 

Х
р	0,583	0,340	0,070	0,007	0,000	0,000

Найдём функцию распределения:

 

 

Аналогично найдём

 

.

 

Заметим, что . То есть вероятность того, что в выборке меньше двух бракованных изделий равна 0,923.

Далее, найдём

 

.

 

Замечание: Сравним полученные значения математического ожидания и дисперсии с соответствующими значениями (см. свойства гипергеометрического распределения):

 

,

 

 

Как видим, не доказывая формулы для M(X)и D(X), на примере мы убедились в их справедливости.