На поверхности стержня

Рис. 7.4

Рис.7.3.

Искажение прямых углов сетки, нанесённой на поверхности, свидетельствует о том, что мы имеем дело с деформацией чистого сдвига. Следует отметить, что гипотезу плоских сечений мы уже использовали при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе (см. п. 5.4).

Из стержня, показанного на рис. 7.3, вырежем участок длиной dx (рис. 7.4,а), а из него – сектор abcdoo₁. Далее покажем деформацию этого сектора (рис. 7.4,б).

а б

Угол закручивания участка стержня длиной dx составляет dφ. Следовательно, радиус o₁b после деформации займёт положение o₁b′, исходный элемент abcdoo₁ превратится в элемент ab′c′doo₁.

bb′ = dx tg γ₀ = dx γ₀, bb′ = r tg φ = rd φ,

dx γ₀ = rdφ, .

В произвольном месте (на расстоянии r от оси)

kk′ = dx · γ, kk′ = ρdφ, dx γ = ρdφ

. (7.4)

Величина dφ/dx является относительным (погонным) углом закручивания, имеет размерность см^-1 и обычно обозначается через θ. Учитывая это, формулу (7.4) можно переписать так:

γ = θρ. (7.5)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи: элемент испытывает чистый сдвиг и поэтому в соответствии с формулой (6. 8) получим

τ = Gθρ. (7.6)

Формула (7.6) показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию ρ точек от центра сечения. Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня при ρ = r. Нам пока неизвестен относительный угол закручивания θ. Для определения его необходимо рассмотреть статическую сторону задачи (рис. 7.5).

∑ M_x = 0: ;

;

- М_кр + GθJ_р = 0;

, (7.7)

где GJ_р – жёсткость стержня при кручении, J_р – полярный момент инерции.

Рис. 7.5

Зная выражение (7.7) относительного угла закручивания, можно написать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии ℓ:

.

Если в пределах участка длиною ℓ крутящий момент не изменяется, то

. (7.8)

Для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения надо в формулу (7.6) подставить выражение для q по формуле (7.7). Тогда

. (7.9)

График касательных напряжений в поперечном сечении представлен на рис.7.6,а. Максимальное напряжение у поверхности стержня будет

, (7.10)

где W_p – полярный момент сопротивления.

а б

Рис. 7.6

Из графика следует, что материал в окрестности центра стержня почти не работает (напряжения близки к нулю), поэтому его можно удалить. Получится трубчатое или кольцевое сечение (рис.7.6,б). Это сечение выгоднее круглого – при равной прочности имеет меньший вес.

Геометрические характеристики сплошного круглого сечения определяются по формулам (4.11) и (4.25)

, . (7.11)

Геометрические характеристики трубчатого сечения будут

, ,

(7.12)

где α – отношение внутреннего диаметра трубы к наружному, a = d_B/d_H.

В качестве примера решим задачу о соотношении площадей поперечного сечения равнопрочных трубчатого и сплошного валов, приняв α = 0,8. Прочность характеризуется моментом сопротивления, поэтому 0,2d³ = 0,2d³_H (1 – α⁴).

Выразим диаметр трубчатого вала через диаметр круглого

0,2d³ = 0,2d³_H (1 – (0,8)⁴) = 0,2d³_H ∙ 0,59

Þ d_H = 1,195d

Теперь найдём площади поперечного сечения:

сплошной вал ;

трубчатый вал .

Таким образом мы получили, что трубчатый вал имеет на 20% больший диаметр, чем сплошной. При этом площадь поперечного сечения его на 50% меньше.

Поэтому валы, передающие большие крутящие моменты, делают трубчатыми. Например, валы гидротурбин, карданные валы транспортных машин. В случае небольших моментов затраты на изготовление трубчатого вала не окупаются экономией материала.

7.3. Расчёт валов на прочность и жёсткость

При проектировании валов можно рекомендовать следующий порядок расчёта на кручение.

По схеме вала определяются действующие на него скручивающие моменты по формуле (7.1) и строится эпюра крутящего момента M_кр. Пример такой эпюры приведён на рис. 7.2. Наибольший скручивающий момент М₃ (момент на “ведущем шкиве”) приложен в середине вала. Другой вариант эпюры крутящих моментов, когда “ведущий шкив” расположен на краю вала, - на рис. 7.7

Установив величину наибольшего крутящего момента, определим размеры его поперечного сечения из условий прочности и жёсткости.

Условие прочности вытекает из формулы (7.10)

, (7.13)

где τ – допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).

Рис. 7.7

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента сопротивления W_р и задавая из конструктивных соображений отношение a, находим наружный диаметр вала

. (7.14)

Помимо расчёта на прочность, валы рассчитывают и на жёсткость, ограничивая углы закручивания на единицу длины (погонные углы закручивания).

Условие жёсткости вытекает из формулы (7.8)

, (7.16)

где [φ] – допускаемый угол закручивания в градусах на метр.

Учитывая выражение (7.12) для полярного момента инерции J_p, принимая l=1м=100 см и переводя [φ] из градусов/метр в радианы/метр, находим наружный диаметр вала из условия жёсткости

. (7.16)

Далее из двух значений d_н, найденных по формулам (7.14) и (7.16), выбираем большее и округляем его до ближайшего стандартного.