Определение положения центра тяжести

Статические моменты.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Oz и Oy (рис. 4.1). Выделим элемент площади dF с координатами z, y.

Рис. 4.1

По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение для момента площади, которое называется статическим моментом. Так dSz = ydF и dSy = zdF – статические моменты элемента площади dF относительно осей Oz и Oy. Просуммировав по всей площади фигуры, получим статические моменты:

, . (4.1)

Статические моменты имеют размерность единицы длины в кубе (например, см3). Могут быть положительными и отрицательными, знак зависит от положения осей относительно фигуры. Ясно, что относительно каких-то осей статические моменты равны нулю – это оси, проходящие через центр тяжести фигуры.

Рассмотрим задачу о параллельном переносе осей (рис.4.2.).

Рис. 4.2 Дано: параллельные оси Oz, Oy и Cz1 Cy1, точка C – центр тяжести фигуры, a и b – расстояния между осями, Sz и Sy – известны. Определить: Sz1 и Sy1. Из рис.4.2. следует, что y1 = y – a и z1 = z – b. По определению . Подставим у1: .

Получили формулы зависимостей между статическими моментами относительно параллельных осей.

Sz1 = Sz – aF, Sy1 = Sy – bF, (4.2)

где F – площадь фигуры;

a и b – расстояния между осями.

Если оси Cz1 и Cy1 – центральные (проходят через центр тяжести), то Sz1 = Sy1 = 0. Тогда

0 = Sz – ycF, 0 = Sy - zcF.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от центра тяжести фигуры до оси:

Sz = Fyc, Sy = Fzc. (4.3)

Отсюда координаты центра тяжести

, . (4.4)

По формулам (4.4.) можно найти положение центра тяжести любой плоской фигуры. На рис.4.3. изображена криволинейная лопатка направляющего аппарата гидротурбины. Её необходимо разбить на простые фигуры – прямоугольники, для каждого из которых известна площадь (Fi) и положение центра тяжести (zi, yi) относительно заданных нами осей.

Статический момент площади фигуры относительно данной оси определится как сумма статических моментов каждой части. Координаты центра тяжести

, . (4.5)

Рис.4.3