Тема 5. Выборочное наблюдение

При использовании выборочного наблюдения можно установить две характеристики выборочной совокупности: среднее значение признака и долю единиц совокупности, обладающих альтернативным признаком.

Доля единиц, обладающих альтернативным признаком, в генеральной совокупности определяется следующим образом:

(83)

где Р – доля альтернативного признака в генеральной совокупности;

N_a – численность единиц, обладающих альтернативным признаком, в генеральной совокупности;

N – общая численность единиц в генеральной совокупности.

В выборочной совокупности доля единиц, обладающих альтернативным признаком, определяется аналогично:

(84)

Так, если в ходе выборочного наблюдения качества рыбных консервов было установлено, что из 5000 обследованных банок 22 были признаны бракованными. В этом случае доля бракованной продукции (доля единиц, обладающих альтернативным признаком) в выборочной совокупности составит:

или 2,44%

Характеристики, полученные при выборочном обследовании, будут отличаться от характеристик генеральной совокупности на величину ошибки выборочной средней и ошибки доли альтернативного признака.

Величина ошибки репрезентативности и методика ее расчета зависит от используемого вида выборочного наблюдения, от способа формирования выборочной совокупности (повторный или бесповторный отбор), а также от объема выборки. Различают два вида ошибок – среднюю и предельную.

В статистике используется понятие малой выборки, которое не связано с особенностями формирования выборочной совокупности, а только с тем, что ее численность не превышает 30 единиц. Ошибка выборки в этом случае будет заведомо больше и для ее расчета используются специальные формулы.

В таблице 4 приведены основные виды формул, используемых для расчета средней ошибки выборки и средней ошибки доли альтернативного признака.

Таблица 4. - Формулы для расчета средней ошибки репрезентативности

Вид отбора и объем выборочной совокупности	Средняя ошибка выборочной средней	Средняя ошибка доли альтернативного признака
Формула	Номер формулы	Формула	Номер формулы
Повторный отбор (бесповторный объемом до 5%)		(85)		(86)
Бесповторный отбор объемом свыше 5%		(87)		(88)
Малая выборка		(89)		(90)

где N - объем генеральной совокупности.

На основе средней ошибки выборки можно определить пределы среднего значения признака и пределы доли альтернативного признака в генеральной совокупности.

Пределы генеральной средней находятся по формуле:

(91)

где - генеральная средняя;

- выборочная средняя.

Пределы доли альтернативного признака в генеральной совокупности:

(92)

где Р – генеральная доля альтернативного признака.

Однако, средняя ошибка выборки совпадает с реальной только в 683 случаях из 1000. Если хотят получить результат с большей надежностью, используют предельную ошибку репрезентативности. Для ее определения среднюю ошибку увеличивают в t раз, где t - коэффициент доверия.

(93)

где Δ - предельная ошибка репрезентативности;

t - коэффициент доверия;

μ - средняя ошибка репрезентативности.

Подставляя в выражение (93) значение средней ошибки выборочной средней из таблицы 4, можно получить формулы предельной ошибки для каждого вида отбора. Например, для повторного отбора предельная ошибка выборочной средней примет вид:

(94)

Остальные виды предельных ошибок получают аналогично.

Предельная ошибка позволяет определить границы среднего значения признака в генеральной совокупности с заданной степенью вероятности. Например, если вероятность (надежность) ошибки репрезентативности должна быть 954 случая из 1000, значение коэффициента доверия t составит 2, т.е. предельная ошибка репрезентативности должна быть выше средней в 2 раза. Определить значение коэффициента доверия при любой степени вероятности можно на основе таблицы функции Лапласа. Выписка из таблицы функции Лапласа приведена в таблице 5.

Таблица 5- Выписка из таблицы функции Лапласа

При использовании предельной ошибки репрезентативности пределы генеральной средней и генеральной доли альтернативного признака определяются следующим образом:

или (95)

или (96)

В ходе выборочного наблюдения одним из вопросов является определение объема выборочной совокупности. Определить оптимальную численность можно, используя формулу предельной ошибки репрезентативности, следовательно, выбор формулы зависит от способа формирования выборочной совокупности. В таблице 6 приведены формулы для определения оптимальной численности выборки при каждом способе отбора для расчета выборочной средней и выборочной доли альтернативного признака.

Следует помнить, что расчет оптимальной численности возможен только в том случае, когда изначально известны величины дисперсии и предельной ошибки репрезентативности. Поэтому определять оптимальную численность рекомендуется только при проведении повторных выборочных наблюдений.

Таблица 6 - Формулы для расчета численности выборки

Вид отбора и объем выборочной совокупности	Для выборочной средней	Для доли альтернативного признака
Формула	Номер формулы	Формула	Номер формулы
Повторный отбор		(97)		(98)
Бесповторный отбор		(99)		(100)

где n_x, n_w - оптимальная численность выборки;

t - коэффициент доверия;

- дисперсия;

- предельная ошибка выборки;

- предельная ошибка доли альтернативного признака;

N – объем генеральной совокупности;

w - доля альтернативного признака в выборочной совокупности.