Product of Real Numbers

Произведение вещественных чисел

Добуток дійсних чисел.

 

Потребуем, чтобы умножение было дистрибутивно по отношению к сложению:

a(b+g)=ab+a.g

Отсюда вследствие единственности нуля, доказываемой алгебраически, имеем для любых фиксированных a,b

ab=a(b+0)=ab+a0 Þ a×0=0

Произведение любого вещественного числа на 0 равно нулю.

0 = a×0=a(b+(-b))=ab+a×(-b)Þa×(-b)=--ab

вследствие единственности противоположного, доказываемой алгебраически.

Произведение числа на противоположное другому числу есть противоположное произведению этих чисел. Отсюда правило знаков: плюс (умноженный) на плюс и минус на минус дают плюс, а плюс на минус и минус на плюс дают минус:

abº(+a)(+b)=(-a)(-b) a(-b)º(+a)(-b)=(-a)b=(-a)(+b)=-(ab)

(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab - т.к. противоположное число единственно.

 

Таким образом, в предположении дистрибутивности достаточно определить произведение положительных чисел, для остальных произведение определится правилом знаков и свойством 0 обращать в нуль произведение.

Для положительных вещественных чисел a,b>0, т.е. для a=A½A^¢ и b=B|B^¢ таких, что A^¢B^¢ÌQ₊, назовем произведением ab вещественное число g=C|C^¢ внутренность, верхнего класса которого равна произведению внутренностей верхних классов сомножителей ^¢=^{¢ ¢}: для ab>0

ab=gÛ^¢=^{¢ ¢}

 

а положительная часть внутренности нижнего класса равна произведению положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей: для a,b>0

₊=₊₊

Другими словами произведение положительных вещественных чисел, это вещественное число, которое заключено между всевозможными произведениями рациональных чисел из положительных частей внутренностей нижних классов сомножителей и всевозможными произведениями чисел из внутренностей верхних классов сомножителей.

"DÎ₊, bÎ₊, а^¢Î^¢, b^¢Î^¢ аb<g<а^¢b^¢

Проверка корректности определения ^¢ вместе с любым числом а^¢b^¢, а^¢Î^¢, b^¢Î^¢ содержит все большие: 0<a^¢b ^¢<rÞ

<1 Þ а^¢:(так что левая часть Î^¢ Поэтому

r=[a^¢:(^¢¢ Þ ^¢¢ можно рассматривать как внутренность верхнего класса некоторого сечения.

вместе с любым числом аb, где аÎсодержит и всякое меньшее положительное число: 0<r <ab Þ а:(а, так как левая часть Î.

Поэтому r=[a:( Þ можно рассматривать как внутренность положительной части нижнего класса некоторого сечения.

B ^¢ нет наименьшего числа в - наибольшего. Так как таковых нет в ^¢ и ^¢, то для любых а^¢, b^¢ есть a^¢, b¢ есть и , что после перемножения дает . Для рассуждения аналогично.

Любое число из и ^¢ меньше любого числа из¢:0<a<a 0<b<b^¢ Þ 0<ab<a^¢b^¢.

В₊ и ^¢ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного числа e>0× Можно ограничиться рассмотрением а^¢<а, b^¢<b, где а, bпроизвольные наперед заданные числа. Если а^¢-a<d и b^¢-b<d, то

a^¢b-ab=a^¢ b^¢-a^¢b+a^¢b-ab =a^¢(b ^¢-b)+(a ^¢-a)b<d(a^¢+b)<d(a ^¢+b^{¢ ¢})<d(a+b₁^¢)

Если взять d<, то получим требуемое. Здесь скажем a^¢<aбез ограничения общности, так как во внутренностях верхних классов нет наименьших. Поэтому от а^¢ удовлетворяющего неравенству а^¢-а<8 можно перейти к меньшему если это необходимо, удовлетворяющего кроме этого неравенства также и условию а^¢<a^¢₁.

Данное определение произведения вещественных чисел сохраняет произведения рациональных чисел неизменными. Точное произведение abсечений aи bпроизводимых рациональными числами а₀ и b₀ есть сечение (а₀b₀)^* производимое их произведением:

а×b=(a₀b₀)^*

30<a<a₀<a^¢ Ù 0<b<b₀<b^¢ Þ 0<ab<a₀b₀<a^¢b^¢× Поэтому a₀b₀ удовлетворяет условиям налагаемым на произведение и так как последнее определено однозначно, то оно совпадает с сечением (a₀b₀)^*8

Коммутативность: ab=baÜ^¢¢=^¢¢ так как произведение рациональных чисел коммутативно.

Ассоциативность: a(bg)=(ab)gÜ ^¢(^¢¢)=(^¢¢)^¢ так как произведение рациональных чисел ассоциативно.

Существование единицы:a×1=a× ^¢¢=^¢, если ^¢={bÎQ|b>1}-внутренность верхнего класса сечения 1^* которое производится рациональным числом 1.

Так как в ^¢ входят числа >1, то ^¢¢Ì^¢. Взяв a<aи b^¢=получим a^¢=a() Î^¢¢т.е. ^¢Ì^¢¢.

Существование обратного: a^-1×a=1, где a=A|A^¢,a^-1=B|B^¢ причем для a>0, для a<0 по правилу знаков, 0 не имеет обратного.^¢=^¢и ^¢-1.

Действительно a×a^-1 заключено между всевозможными произведениями вида аb и а^¢b ^¢, в частности между всевозможными числами вида и соответствующих выбору b=a^¢-1 и b^¢=a^-1.

Разность таких чисел можно сделать сколь угодно малой, а так как между ними содержится 1 :, то это и есть что и требовалось доказать.

,

где 0<а₁<a; так как в нет наибольшего, то а можно без ограничения общности брать >a₁ увеличение а только уменьшает разность a^¢-a.

Неравенства между вещественными числами сохраняется при умножении обеих его частей на одно и то же положительное число

a£b Ù g>0 Þ ag£bg×