Додавання дійсних чисел

Addition Real Nambers

Сложение вещественных чисел

Определим сложение и умножение числовых множеств полагая,

 

C+U={z |$xÎC $yÎU z= x+y }=:{x +y|xÎC Ù yÎU},

C×U={z |$xÎC $yÎU z=xy}=:{xy |xÎC Ù yÎU}

 

Эти определения годятся для любых чисел, хотя пока их можно было бы применять лишь к числам рациональным, для которых сумма и произведение уже определены.

Сложение и умножение числовых множеств коммутативны и ассоциативны, обладают нулем - множеством, состоящим из одного нуля {0}, и единицей – множеством, состоящим из одной единицы {1}, связаны между собой дистрибутивным законом, но, в общем, когда числовое множество не состоит из одного единственного элемента, у него нет противоположного и обратного

C+U=U+C, C×U=U×C;

(C+U)+Z =C+(U+Z)=:C+U+Z, (C×U)Z=C×(U×Z)=CUZ;

C+{0}=C; C×{1}=C

Определим также множество -C из противоположных элементов множества Х:

-C={|x|-xÎC},

х
-х
На числовой прямой это множество симметрично множеству Х относительно начала координат

 

 
 

 

 


а также множество C-1 из обратных элементов множества C, если оно не содержит нуля:

 

C-1={x|x-1ÎC}, если 0 ÏÛ0ÏC1

 

Если непустое множество Х, не являетсяодноэлементным множеством, то его сумма с множеством -C из его противоположных элементов тоже не является одноэлементным множеством; она содержит 0 и вместе со всяким числом содержит противоположное ему число; на числовой прямой эти множества симметричны относительно начала координат:

C+(-C)ºC-C={x-y|x,yÎC},

0ÎC-C, аÎCÛ-аÎC-C;

{а}+(-{а})º{а}-{а}º{а}+{-а}={0}.

Если непустое множество Х, не содержащее нуля, не является одноэлементным, то его произведение на множество Х-1из его обратных элементов тоже не является одноэлементным множеством; оно содержит 1 и вместе со всяким числом содержит обратное ему число.

Х×C-1@C/C={x/y|x,yÎC}, 0ÏCÛ0ÏC-1;

1ÎC×C-1, аÎC×C-1Ûа-1ÎC×C-1; C(U+Z)=CU+CZ

{а}×{а}-1º{а}/{а}º{а}×{a-1}={1}

C+={x|xÎC и x>0}-множество положительных чисел из множества Х – положительная часть множества Х.

Х-={x|xÎCÙx<0}множество отрицательных чисел из множества Х-отрицательная часть множества Х.

(~C)±=-C±, =(Х-1)± C\{0}=C+ÈC-

C-1=ХÈC, (CC-1)+ =C+CÈC-× C, (CC-1)-=C+ ×CÈC-×C

На числовой прямой множества точек Х и Х-1 связаны друг с другом инверсией относительно нульмерной единичной сферы |x|=1, представляющий собой двухточечное множество {-1,+1} C+ и C=(C-1)+ связаны инверсией относительно точки 1, а Cи C= - инверсией относительно точки –1. Точки связанные инверсиейотносительно нульмерной единичной сферы |х|=1 а) одного знака и б) произведение их расстояний до начала координат (модулей) равно 1.

Сложение вещественных чисел. Суммой вещественных чисел – сечений a=A|A¢ и b=B|B¢ называется вещественное число – сечение g=C|C¢, внутренность конечного (верхнего) класса

которого есть, по определению сумма внутренностей нижних (верхних) классов слагаемых:

a+b=gÛ

 

Другими словами сумма вещественных чисел – это вещественное число, которое заключено между всевозможными суммами рациональных чисел из внутренностей нижних классов слагаемых и всевозможных суммами чисел из внутренностей верхних классов слагаемых:

"аÎ, bÎ, а¢Î, b¢Î а+b<y<a¢+b¢

 

Корректность этого определения следует из следующих утверждений.

Множество действительно может рассматриваться как внутренность нижнего класса некоторого сечения; одновременно множество является внутренностью верхнего класса того же сечения. Сумма вещественных чисел определена данным определением для любых двух вещественных чисел и однозначно, т.е. не может быть разных вещественных чисел удовлетворяющих определению суммы для фиксированных слагаемых.

3Действительно, вместе с любым числом а+b, aÎ, bÎсодержит все меньшие: а+b>rÞ а+b-r>0Þ а-(a+b-r)<а, т. е. а-(а+b-r)Î; после прибавления к обеим частям последнего неравенства числа bÎB имеем r=а-(а+b-r)+b<a+b.

В нет наибольшего числа, поскольку наибольших чисел нет по определению в и . Поэтому для аÎи bÎнайдутся большие из тех же классов а<а1, а2Î; b<b2; b2Î.Поэтому для всякого числа а+b из +в этом множестве есть большее число а2+b1.

Аналогичные рассуждения показывают, что ¢ можно рассматривать как верхний класс некоторого сечения.

Любое число из меньше любого числа из ¢. Действительно, если а+bÎa¢+b¢Îгде АÎ, bÎ, а¢Î¢, b¢Î¢ и, следовательно, а<а¢ и b<b¢, то складывая последние неравенства получаем требуемое, а+b <а¢+b¢.

В и ¢ можно найти числа, разность которых меньше любого наперед заданного положительного e>0. По третьей теореме об аппроксимации есть числа а, а; b; b¢ разность которых меньше e/2: 0<а¢-а<e/2, 0<b¢-b<e/2, откуда 0<а¢+b¢-(а+b)=(а¢-а)+(b¢-b)<× Поэтому множество Q\(¢¢) содержит не более одного элемента (числа), согласно второй теореме об аппроксимации. Если указанное множество пустое (=Æ), то =С, ¢=C¢, C|C¢=g-однозначно определенная сумма. Если Q\(¢)={c},где сÎQ, то с=max({c}=min(¢È{c} так что (|¢=|(¢È{c})-сечение производимое числом с. Подчеркнем, что наличие такого с не означает, что числа-слагаемые a и b рациональны8

Данное определение суммы вещественных чисел сохраняет сумму рациональных чисел неизменной. Точнее, сумма а+сечений bи bпроизводимых рациональными числами а0 и b0 есть сечение (а0 +b0)* производимое их суммой:

 

а(а0+b0)*

3"aÎ, bÎ, а¢Î¢, b¢Î¢ а<а0<а¢Ùb<b0<b¢Þa+b<a0+b0<a¢+b¢. Поэтому а0+b0 удовлетворяет условием налагаемым на сумму и так как последняя определенаоднозначно, то она совпадает с сечением (а0+b0)*8

В терминах сечений естественно получать лишь те свойства суммы, которые достаточны для аксиоматического построения теории вещественных чисел: ассоциативность, коммутативность, существование нуля, существование противоположного, свойства неравенств (порядка) относительно сложения.

1.Коммутативность: a+b=b+a-независимость суммы от порядка слагаемых.

2.Ассоциативность: a(b+g)=(a+b)+g-независимость суммы от порядка выполнения действий (расстановки скобок).

3.Существование нуля: сечение 0* производимое 0 обладает свойством 0*+a=a: прибавление нуля к любому числу не меняет его.

4.Существование противоположного: для любого числа a=A|A¢ его сумма с противоположным -a:=(-A¢)|(-A) равна нулю (-a)+a=0*.

5.Неравенство между вещественными числами сохраняется при прибавлении к обеим его частям одного и того же числа:a<b Þ a+g<b+g.

3+=+, из-за коммутативности сложения рациональных чисел.

+из-за ассоциативности сложения рациональных чисел.

0*=Q-|(Q+È{0})=(Q-È{0}|Q*. Для а=А|A¢ имеем Q-+Q++¢=¢.

Действительно, в * нет наибольшего. Всякий элемент из Q+меньше некоторого элемента из как сумма с отрицательным числом. Поэтому Q-+. Для всякого элемента из найдется равный ему элемент из Q-+точка числа Q-+и, следовательно, Q-+. В самом деле, если аÎто можно указать а1Îбольшее а: а<а1. Но так как а=а1+(а-а1), где а1Î, а а-а2<0, т.е. а-а2ÎQ-,то аÎQ-+.

Для произвольного сечения a=A|A¢ множества (-А) и (-А¢) из противоположных элементов для классов А и А¢, непусты (ибо таковы сами А и А¢), не пересекаются (по той же причине с учетом того что (-а)=(-а¢) Û а=а¢), их объединение есть Q (так как AÈA¢=Q,то "rÎQ либо -rÎA, т.е. -r=а или g=-a а значит gÎ-A либо - rÎA¢ и следовательно rÎ(-A¢)), наконец, для rÎ(-A) и g¢Î(-A¢) имеем (-r)ÎA и следовательно (-r)<(-r¢) т.е. r>r¢. (-)+¢=Q+,+(-¢)=Q- т.е. a+(-a)=0*× Легко понять, что (-) – внутренность класса (-А), (-а)+а¢>0; для r>0 $a, атакие что 0<a¢-a<g. Тогда а1<a+g=:a¢, причем a¢-aºa¢+(-a)=r - все числа из Q+ содержатся в (-)+A¢.

a£bÛ. Сохранение строгого неравенства получается “алгебраически” из того что a=bÛa+g=b+g8