Порівняння перерізів множними раціональних чисел.

Comparison of Rational Number Sections

Сравнение сечений множества рациональных чисел

Поскольку число, производящее сечение, когда оно есть, может быть отнесено и к нижнему и к верхнему классу (конечно, не одновременно) часто удобно говорить о внутренностях классов и ¢, т.е. о классах без рационального числа производящего сечения даже когда оно есть. В случае рациональных сечений (сечений производимых рациональным числом)

 

=A\{max A}, ¢=A¢\{min A¢}

 

В случае иррациональных сечений внутренности классов совпадают с самими классами: и ¢. Использование внутренности класса соответствует такому специальному выбору сечения, производимого рациональным числом, при котором число, производящее сечение, включается в другой дополнительный рассматриваемому классу ¢ класс QÙ QÙ ¢.

Верхние (нижние) классы или их внутренности для двух сечений множества рациональных чисел либо совпадают, либо один из них содержит другой:

 

=AôA^¢ Ù b=B÷B^¢Þ(AÌBÙA^¢ÉB^¢)Ú(AÉBÙA^¢ÌB¢^¢).

 

3Если Ø$а Ï B и Ø$ bÎA, то множества А и В имеют одни и те же элементы, а потому совпадают (равны): А=В.

Если, скажем, $аÏB, то аÎB’. Тогда "аÎ^¢A^¢ и "bÎB b<а (т.к. аÎB^¢) Ù а<а^¢ (т.к. аÎ A)Þ"a ^¢ÎA^¢ "bÎB b<а^¢. Таким образом, BÌA. Что B^¢ÉA^¢ получается переходом и дополнениям Q\B=B^¢ и Q\A=A’.

Если предположить, что одновременно $аÏB и $bÏA придем к противоречию: аÏBÞ аÎB^¢Þа>b; с другой стороны bÏAÞbÎA^¢Þb>а. Таким образом, одноименные классы двух сечений не могут пересекаться лишь частично, т.е. так, чтобы в каждом классе были элементы не содержащиеся в другом: невозможно

либо A\B=Æ, либо B\A=Æ: это

соответствует AÌB и A^¢ ÉB^¢.

 

Определение равенства сечений. Сечения a=AúA^¢ и b=BúB^¢ равны тогда и только тогда, когда совпадают внутренности их нижних или, что-то же, верхних классов: a=bÛAúA^¢=BúB^¢:Û==.

 

Для иррациональных сечений это тривиальное равенство в смысле тождественного совпадения приравниваемых объектов (сечений). Для сечений, производимых рациональными числами, это, кроме того, и отождествление сечений, отличающихся размещением числа производящего сечение в верхнем или нижнем классе, поскольку приравниваются внутренности классов, куда секущее число не входит. Иными словами для таких сечений это переформулировка сформулированной ранее договоренности об их отождествлении.

Определение отношения порядка для сечений. Из двух неравных сечений a=AúA^¢ и b=BúB^¢ больше то, внутренность нижнего класса которого содержит внутренность нижнего класса другого сечения, или, что- то же, внутренность верхнего класса которого содержится во внутренности верхнего класса другого сечения:

a£b Û AúA^¢£BúB^¢:Û ^¢É^¢;

a<b: Û a£bÙa¹b ÛA½A^¢<BúB^¢ Û

Любые два вещественные числа (сечения) сравнимы (линейность порядка в множестве сечений)

"a,bÎR a<b Ú a=b Ú a>b×

3Следует из утверждения о сравнимости (внутренностей) одноименных классов любых двух сечений 8

Равенство сечений рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. обладает всеми свойствами равенства по определению (эквивалентности). Нестрогое неравенство между сечениями рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, т.е. обладает всеми свойствами отношения порядка. Отношения равенства или порядка между сечениями, для сечений, производимых рациональными числами, равносильны равенству или порядку между числами производящими сечения. Сечения, соответствующие рациональным числам а(а^¢¢) из внутренностей нижнего (верхнего) классов меньше (больше) рассматриваемого сечения a:

Пусть a=AïA^¢, b=BôB^¢, g=C|C^',¼, Тогда

а) Рефлексивность: a=a; a£a.

б) Симметричность a=b Þ b=a.

в) Антисимметричность a£b Ù b£a Þ a=b.

г) Транзитивность a=b Ù b=g Þ a=g, a£b Ù b£g Þ a£g.

д) Связь сравнения рациональных чисел со сравнением, производимых ими сечений: если а, b,¼ÎQ, то

а =b Û a^*=b^*, а£b Û a^*£b^*.

е) Сравнение сечения с сечениями, производимыми рациональными числами, из внутренностей его классов. Если a=A½A^¢, aÎи a^¢Î, то

a^*<a<a^¢*.

ж) Конечно для аÎQ запись а^*=a равносильна утверждению, что сечение a производится рациональным числом а.

3а) и и `

b)

в)

г)

д) {xÎQ| x <a}={xÎQ| x <b}Û"xÎQ x<a Û x <b Û a=b

 

Отождествление сечений множества рациональных чисел с вещественными числами требует:

а) определения для сечений отношений равенства и порядка (= и £);

b) определения для сечений суммы и произведения;

в) доказательства, что для сечений отождествляемых с рациональными числами результат сравнения совпадает с результатом сравнения секущих рациональных чисел; доказательства, что сумма и произведение рациональных сечений, есть сечения производимые, соответственно, суммой и произведением секущих рациональных чисел;

г) выявления преимуществ новой системы чисел;