Эллиптические интегралы. Введение.
Примеры.
1°. 
.
2°. 
=
.
3°.
= … .
4°. 
= … 
.
Замена 
; 
.
…= 
– (интеграл от дифференциального бинома).
В°. Очень полезными являются две следующие формулы:
1°. 
и, следовательно, интегрируя получаем:
.
Пример. 
= … .
2°. 
+ 
и интегрируя, получаем:
= 
;
при взятии последнего интеграла полезно знать, что: 
= 
.
Рассматриваются интегралы вида:
и 
, (*)
где 
и 
– многочлены 3й и 4й степени соответственно, с вещественными коэффициентами и не имеющие кратных корней. В случае кратных корней радикалы упрощаются и сводятся к ранее рассмотренным иррациональностям.
Эти интегралы, как правило, не интегрируются в элементарных функциях и называются эллиптическими.
Однако:
1°. 
= 
=
= 
.
2°. Легко видеть , что :
.
Два рассмотренных интеграла , хотя и являются интегралами вида (*) выражаются через элементарные функции. Такие интегралы называются псевдоэллиптическими.
А°.Для 
:
Сделаем замену : 
следовательно :
Б°.Для интегрирования 
запишем
.
В получившихся квадратных трехчленах избавимся от членов содержащих первые степени переменной х.
а) При 
сделаем замену 
Þ 
.
б) При 
сделаем замену 
.
Тогда 
,
.
Неизвестные параметры 
и 
найдем из условия равенства нулю коэффициентов при первых степенях переменной 
:
и 
.
Из системы уравнений: 
находим и .
Тогда:
и 
.
Теперь представим : 
в виде 
=
= 
= 
.
Интеграл от первого слагаемого легко берется
В°.Рассмотрим интеграл: 
. (**)
Функцию 
запишем в виде 
.
Запишем
Функция 
четная и, следовательно 
,
а функция 
нечетная и поэтому 
.
Тогда интеграл (**) разбивается в сумму двух интегралов :
I. 
. Замена 
сводит этот интеграл, к ранее рассмотренным интегралам от квадратичных иррациональностей.
II. 
. Этим интегралом мы и займемся в следующем параграфе. §. Приведение интеграла 
к каноническому виду.
Приведение интеграла к каноническому виду зависит от знаков констант А , m , 
.
Есть шесть различных вариантов распределения знаков этих констант:
1) + – – ; 2) + – +; 3) + + +; 4) – – –; 5) – – +; 6) – + +.
Введем обозначения: 
и рассмотрим каждый из шести выделенных случаев.
1°. 
.Область определения подынтегрального выражения
.
a) 
; Производя замену переменной интегрирования 
получаем:
и 
.
Здесь 
. Последний интеграл записан уже в каноническом виде.
б)
; Сделаем замену переменной 
. Отсюда:
.
Получен канонический вид интеграла.
.
2°. 
.Область определения подынтегрального выражения
.
Замена: 
; 
; 
.
И, следовательно: 
=
= 
= 
.
Тогда: 
.
Вновь получен канонический вид интеграла.
3°. 
.Замена: 
; 
.
= 
и получаем:
– канонический вид интеграла.
4°. .Область определения: 
.
Производя замену 
, получим:
; 
; 
.
Теперь: 
=
= 
= 
.
= 
. Это вновь канонический вид исходного интеграла.
5°. .Область определения подынтегрального выражения
.
Выполним замену переменной: 
; 
.
= 
= 
.
= . Это снова канонический вид исходного интеграла.
6°. .Данное выражение всегда отрицательно и, следовательно, подынтегральная функция не определена.
*. В итоге мы получили канонический вид эллиптического интеграла.