Интегрирование некоторых иррациональностей.
А.Дробно-линейные иррациональности .
Записав ( N-общий знаменатель дробей ), получим:
= .
Получен интеграл от рациональной функции.
Примеры: 1°. .
2°. =
= = .
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
= .
Б.Интегрирование дифференциального бинома (биномиального дифференциала):
.
Теорема Чебышева: Если ,то интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции тогда и только тогда когда:
1°. – целое; 2°. –целое; 3°. –целое.
и при этом следующие подстановки (Чебышева) сводят интегралы к интегралам от рациональных функций.
,где s – общий знаменатель дробей m и n,
, s – знаменатель дроби p,
, s – знаменатель дроби p.
Примеры:
1°. = =
= =
= .
С помощью второй подстановки Чебышева интеграл от дифференциального бинома стал интегралом от рациональной функции.
2°. = . Ни одна из подстановок Чебышева не подходит – интеграл не может быть выражен через элементарные функции (не берётся).
3°. =…
В данном случае и, следовательно, третья подстановка Чебышева должна рационализовать подынтегральное выражение.
В самом деле , и получается интеграл
… = = , и интеграл рационализован.
4°. =…
Здесь
и выполняя замену , получим
… = .
Приведенный пример показывает что для не рациональных показателей степеней подстановки Чебышева тоже могут быть полезны.
В. Подстановки Эйлера : ;
Для интегрирования квадратичных иррациональностей
I.
II. ;
III . .
Других случаев просто нет, ибо тогда . Знаки плюс–минус выбираются из соображений удобства. Остроумие подстановок Эйлера заключается в том, что для нахождения х получается линейное уравнение.
1°. … Учитывая что , выполним первую подстановку Эйлера.
… = = = .
Полученные интегралы от рациональных функций трудностей не представляют.
2°. = … Учитывая что , выполним вторую подстановку Эйлера.
. Тогда … = .
Вновь получен интеграл от рациональной функции.
3°. = … Квадратный трехчлен под знаком корня имеет вещественные корни поэтому можно применить третью подстановку Эйлера.
и получаем
= , а это интеграл от рациональной функции.
Г°.Интегрирование иррациональностей вида : .
Введем обозначение .
Г1°. .
Для нахождения коэффициентов и продифференцируем обе части равенства:
в левой части перейдем к к общему знаменателю: . Многочлены стоящие в числителях дробей справа и слева от знака равенства должны быть равны и, следовательно, должны быть равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Отсюда получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и .
Пример: 1°. =…
Г2°.…
Замена ; ; ;
= = =
= = .
После замены переменной, получим
… = – а такой интеграл рассмотрен в предыдущем пункте.
Пример: = … .
Г3°.= …
Подстановка Абеля: ; ; = (*).
Находя дифференциал от правой и левой части равенства (*), получим:
; ; ;
а возводя правую и левую части равенства (*) в квадрат, будем иметь:
; .
Т.е. после выполнения подстановки Абеля, исходный интеграл станет интегралом от рациональной функции:
… = .
Г4°. .
В первом интеграле делаем замену: , а во втором и задача интегрирования интеграла типа Г4° сведена к интегрированию рациональных функций.
Г5°.= … .
Возможны варианты:
а) и ; тогда получим интеграл, рассмотренный в пункте Г3°, и применим подстановку Абеля.
б) и тогда ; и после замены у квадратных трехчленов не останется первых степеней (интегралы типа Г4°).
в) В случае сделаем дробно-линейную подстановку , (). Тогда = и потребуем, чтобы коэффициент при первой степени t равнялся нулю:
.
Аналогично, для :
.
Из двух полученных уравнений находим и
= ; и,
следовательно: ; .
Таким образом и есть корни квадратного уравнения: . После замены в квадратных трехчленах не остается первых степеней (интегралы типа Г4°).