Первообразная и неопределенный интеграл.
РАЗДЕЛ. Неопределенный интеграл
Def. Уравнение которое, кроме неизвестной функции и аргумента, содержат и производные искомой функции конечных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Причем высший порядок производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.
- неявное дифференциальное уравнение n-го порядка.
- явное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Def. Частным решением дифференциального уравнения на невырожденном промежутке Х, называется любая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на этом промежутке. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения.
Рассмотрим явное дифференциальное уравнение первого порядка:
Любое частное решение указанного уравнения называется первообразной функции и обозначается т.е. .
Example:
1˚. Если , то (т.к. ).
2˚. Если , то (т.к. ).
Из примеров видно, что одна и та же может иметь не одну первообразную.
Теорема (об общем виде первообразной). Если и две первообразные одной функции , то .
Δ ▲.
F˚. Первообразная функции на промежутке является первообразной этой же функции на любом невырожденном подпромежутке.
Def .Общее решение дифференциального уравнения называется неопределенным интегралом от функции (обозначается )
При этом:
Связь неопределенного интегрирования и дифференцирования:
1˚. ; 2˚. ; 3˚. .
Линейность неопределенного интеграла:
, .