Теорема Абеля.

Поиски формул для решения уравнений пятой и более высоких степеней безуспешно продолжались до начала девятнадцатого века когда была, наконец, доказана следующая замечательная теорема

Т°. Абеля: Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше четвертой не разрешимо в радикалах т.е. не существует формул, выражающих его корни через коэффициенты с помощью радикалов.

Более того, для любой степени не меньшей пяти можно указать уравнение с целыми коэффициентами, корни которого никак не выражаются через радикалы, сколь угодно многоэтажные, если в подрадикальных выражениях используются лишь целые и рациональные числа. Таково, например, уравнение . Можно доказать, что это уравнение имеет три вещественных и два комплексных корня, но уравнение неразрешимо в радикалах. Таким образом, запас чисел, вещественных или комплексных, которые служат корнями уравнений с целыми коэффициентами ( такие числа называются алгебраическимив противоположность числам трансцендентным, которые не являются корнями никаких уравнений с целыми коэффициентами), много шире запаса чисел, записываемых через радикалы.

Теория алгебраических чиселявляется важной ветвью алгебры. Доказательство невозможности разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой найдено Абелем (1802 – 1829). Существование не разрешимых в радикалах уравнений с целыми коэффициентами установил Галуа (1811 – 1832). Он также нашел условия, при которых уравнение может быть решено в радикалах. Все эти результаты потребовали создания новой глубокой теории, а именно теории групп. Понятие группы позволило исчерпать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах, а позже оно нашло многочисленные применения в различных разделах математики и физики а также за их пределами и стало одним из важнейших объектов изучения в алгебре.

Отсутствие формул для решения уравнений степени выше четвертой не вызывает серьезных затруднений, если говорить о поиске корней таких уравнений. Оно полностью компенсируется многочисленными методами приближенного решения уравнений, которые даже для кубических уравнений ведут к цели гораздо быстрее, чем применение формул (там, где они вообще применимы) и последующее приближенное извлечение радикалов.

 




php"; ?>