Достаточное условие экстремума.
Т°. Если в окрестности точки внутреннего экстремума меняет знак с “ – ” на ” + ” то в критической точке имеется минимум функции; если меняет значение с “ + ” на ” – ” то в точке х0 функция имеет максимум.
Т°. Пусть в т. х0 функция n – кратно дифференцируема, причем все производные
f (k)(x0) до (n – 1) включительно равны нулю, и f (n)(x0) ¹ 0 то в точке х = х0:
при четном n функция имеет минимум если > 0 и максимум если < 0;
при нечетном n функция не имеет экстремума. Она возрастает если > 0 и убывает если < 0.
D Утверждения следуют из разложения функции f (x) в ряд Тейлора в точке х0:
. ▲
Задачи для исследования функций на экстремумы:
Для нижеуказанных функций установить характер экстремума в точке х = 0:
1). ; 2). ;
3). ; 4). .
На иллюстрациях приведены эскизы первых трех функций. Вверху справа – для функции 1, внизу справа – для функции 2, внизу – две иллюстрации к функции 3, но в разных масштабах. Слева для , справа для . Они показывают динамику изменения функции при . Для функции 4 исследование следует провести самостоятельно.