Логарифмическая производная

Т°. .

Правило Лейбница (нахождение производных высших порядков для функций заданных в виде произведения)

Таблица производных высших порядков

1°..

2°..

.

 

3°..

4°..
Доказательства легко проводятся с помощью метода математической индукции.

 

5°..

6°.Если положить , то получим весьма удобное рекурентное соотношение:

.

7°..

8°..

 

 

Доказательство проведем по методу математической индукции.

а) При формула справедлива, если под нулевой производной функции понимать саму функцию.

Помнится, что мы об этом уже условились.

 

б) Допустим ,что доказываемая формула справедлива при т.е.

 

.

Тогда:

В последней строчке, в первой сумме изменим переменную суммирования . Тогда

.

В дальнейшем учтем, что:

.

Получим:

Таким образом, доказано что, если формула справедлива при , то она справедлива и при . Согласно методу математической индукции формула доказана ▲

 

Пример: Найти

.

 

Задача: Найти производную функции , где , а - дифференцируемые положительные функции.

=

= .

Дифференцируем полученное равенство.

Þ .

 

Если при этом -также функции от , то:

+

.

Этот прием нахождения производных в случае произведения ( или частного) называется взятием логарифмической производной и может быть, в некоторых случаях, весьма эффективным.