Обратные тригонометрические функции

1°. y = sin x

Синусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Синусом угла называется ордината конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).

R; . Функция нечетная, периодичная с периодом Т = 2p.

Ее график приведен выше.

Решение простейших уравнений: Z ,

Z ,

Z .

А уравнение ?

На промежутке функция y = sin x монотонно возрастает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arcsin x . Справа приводим ее график.

Def. ;

, .

Отметим, что:

Z .

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z .

2°.y = cos x

Косинусом числового аргумента называется синус угла в соответствующее число радиан. Косинусом угла называется абсцисса конца подвижного радиуса, отвечающего заданному углу, на тригонометрическом круге (на круге единичного радиуса).

R; . Функция четная, периодичная с периодом Т = 2p.

Ее график приведен выше.

Решение простейших уравнений: Z ,

Z ,

Z .

А уравнение ?

На промежутке функция y = cos x монотонно убывает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arccos x . Справа приводим ее график.

Def. ;

, .

Отметим, что:

Z .

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z .

Приведем еще несколько полезных соотношений:

;

3.y = tg x

Тангенсом числового аргумента называется отношение синуса и косинуса того же аргумента. Его величина равна ординате точки пересечения продолжения радиуса подвижного круга с вертикальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 1, 0) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью тангенсов).

D(tg) = R\{x | x = Z }; Е(tg) = R.

Функция нечетная, периодичная с периодом Т = p.

График функции приведен выше.

Решение простейших уравнений: tgZ ,

tgZ ,

А уравнение tg?

На промежутке функция y = tg x монотонно возрастает и непрерывна.

Следовательно, существует обратная к ней функция:

y = arctg x . Справа приводим ее график.

Def. ;

R , E(arctg) = .

Отметим, что: Z .

И тогда можно решить, приведенное выше простейшее уравнение:

Z .

Приведем еще несколько полезных соотношений:

4.y =ctg x

Котангенсом числового аргумента называется отношение косинуса и синуса того же аргумента. Его величина равна абсциссе точки пересечения продолжения радиуса круга с горизонтальной прямой, проходящей через точку с координатами ( 0, 1) на тригонометрическом круге (эта прямая называется осью котангенсов).

D(сtg) = R\{x | x = Z }; Е(сtg) = R.