Разрывы монотонной функции.
Классификация точек разрыва
Условие непрерывности функции f (x) в т. 
:
.
При нарушении этого условия в т. , функция f (x) имеет разрыв.
Разрывы бывают:
Разрывы 1-го рода (когда пределы справа и слева функции f (x) в т. существуют и конечны).
1°. 
устранимый разрыв первого рода.
2°. 
разрыв первого рода типа скачок.
Разрывы 2-го рода (по крайней мере, один из односторонних пределов равен ∞ или не существует).
1°. 
или 
равен ∞ бесконечный разрыв 2-го рода.
1°. или не существует разрыв 2-го рода.
Примеры:
1°. y = sgn x при x = 0разрыв 1-го рода типа скачок
величина скачка: 
.
2°. y = |sgn x| при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.
3°. 
при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.
4°. 
наибольшее целое на превосходящее х – целая часть х.
В целочисленных точках – непрерывность справа, разрывы 1-го рода типа скачок слева.
5°. 
разрыв 2-го рода в т. х = 0.
6°. 
при x = 0устранимый разрыв 1-го рода.
7°. 
функция непрерывна.
8°. 
при x = 0бесконечный разрыв 2-го рода.
9°. y = arctg
при x = 0разрыв 1-го рода типа скачок.
10°. Функция Дирихле: y = D(x) = 
разрывна в любой точке.
11°. y = xD(x) непрерывна только в одной точке х = 0.
Т˚. Монотонно возрастающая (убывающая) на промежутке Х функция f (x) может иметь во внутренних точках лишь разрывы 1-го рода.
∆ Пусть 
- внутренняя точка Х и f (x) монотонно возрастает. Тогда слева от
f (x) < f () и, следовательно, ограничена сверху. 
и:
а) если 
то функция непрерывна слева в т.
,
б) если 
то функция разрывна слева в т..
Тогда справа от функция f (x) > f () и, следовательно, ограничена снизу. Следовательно , 
и:
а) если 
то функция непрерывна справа в т.,
б) если 
то функция разрывна справа в т..
Т.к. пределы функции в точке и слева и справа существуют и конечны, то в т., в худшем случае, будут разрывы 1-го рода.
▲
Т˚. (Критерий непрерывности монотонной функции). Если значения монотонно возрастающей функции содержатся в промежутке Y и сплошь заполняют его (т.е. 
), то эта функция непрерывна на Х. ∆▲
§ Теорема о промежуточном значении непрерывной функции (Больцано-Коши)
Т˚. Функция, непрерывная на промежутке и принимающая какие-либо два значения, принимает и всякое промежуточное значение. (Значения, которые принимает непрерывная функция на промежутке, сами заполняют некоторый промежуток).
Пусть I – интервал; 
. f (a) = α; f (b) = β.
Тогда 
| f (c) = γ.
Вспомогательный факт: если f (x) непрерывна в т. и f () = ξ > γ,
то 
f (x) > γ.
Аналогично: если f () = ξ < γ
то f (x) < γ.
∆ Рассмотрим все 
, для которых 
. Т.е. 
.
Множество Х – не пусто, т.к. f (a)< γ и ограничено сверху (например, числом b).
Тогда 
.
Докажем, что f (c) = γ (от противного).
1). 
, т.е. 
,
что противоречит тому, что с = sup X.
2). 
, т.е. 
,
и это вновь противоречит тому, что с = sup X.
Таким образом f (c) = γ. ▲
Т˚. Непрерывная на замкнутом промежутке 
функция f (x), на концах промежутка принимающая значение разных знаков, неминуемо внутри промежутка обращается в ноль.
∆ Доказательство проведем методом вилок :
Положим 
и 
. Делим отрезок 
пополам точкой с . Если 
то теорема доказана. Если же 
, то на одном из двух промежутков 
или 
функция имеет разные знаки на концах . Пусть это отрезок, например .
Положим 
и 
. Получим промежуток 
.
Продолжая эту процедуру мы либо на некотором конечном шаге найдем точку с в которой , либо получим бесконечную последовательность вложенных замкнутых промежутков, удовлетворяющих условию 
.
При этом: 
. Значит существует с - общая точка всех промежутков для которой справедливы равенства :
. Учитывая что, делаем заключение : . ▲
§ Существование экстремумов непрерывной функции на сегменте (теорема Вейерштрасса)
Т˚ Функция непрерывная на замкнутом промежутке необходимо ограничена на этом промежутке и достигает на нём своих точных верхней и нижней граней.
| 
| 
∆ 1) Допустим, что f (x) неограниченна сверху для 
. Тогда 
| 
Построив последовательность 
выделим из неё сходящуюся последовательность 
, тогда, по непрерывности 
, но 
. Полученное противоречие, доказывает ограниченность функции сверху. (Аналогично доказывается ограниченность функции снизу.
2) Докажем, что 
достигается, т.е. 
| .
Вновь от противного: пусть это не так. Тогда 
Рассмотрим 
непрерывна и, следовательно (из 1)), ограничена, т.е. 
, т.е. 
.
Последнее неравенство противоречит тому, что 
. (аналогично с точной нижней гранью). ▲
Т°. (об обратной функции). Если y = f (x) определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке Х, то в соответствующем промежутке Y значений этой функции существует однозначная обратная функция x = 
также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
∆ (для возрастающей функции) . Отметим, что 
1) Существование обратной функции. Если f (x) непрерывна, то её значения заполняют промежуток Y сплошным образом, т.е. 
| 
. Единственность такого x следует из монотонности исходной функции.
Тогда : 
, т.е. x = .
2) Монотонность. Пусть 
. Т.е. x = – монотонна.
3) Непрерывность (из критерия непрерывности монотонной функции). Значения
x = сплошь заполняют промежуток Х и – монотонна. ▲