А. Критерий Коши для последовательности.

Критерий Коши

 

Def. Последовательность называется фундаментальной, если

.

Т˚. Всякая сходящаяся последовательность – фундаментальна

Δ

▲

 

Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

 

Δ Первая часть критерия доказана выше.

2) Пусть - фундаментальна. Тогда .

Начиная с N последовательность - ограничена т.к. "n .

Из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. ,

; ▲.