Верхние и нижние пределы последовательностей и функций
Def. Нижним пределом последовательности () называется наименьший из частичных пределов этой последовательности. Верхним пределом последовательности () называется наибольший из частичных пределов последовательности.
При этом: ≤ .
Всякий частичный предел последовательности лежит между ее нижним и верхним пределами.
Т˚. Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают.
Δ 1) Пусть и = и b>a.
——(—|—)———(—|—)——
a b
$N начиная с которого все элементы и попали соответственно в окрестности и . Тогда смешав элементы этих двух последовательностей получим последовательность, не имеющую предела. Следовательно, если верхний и нижний пределы последовательности не равны между собой, то существует подпоследовательность, не имеющая предела и, значит, предел последовательности не существует.
2) ▲
У всякой функции, для которой aÎD ( f )¢, существуют наибольший и наименьший частичные пределы. Они называются верхним и нижним пределами функции при : и .
Т˚. Предел функции при существует тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают. Δ ▲.