Арифметические действия над монотонными функциями.

 

*. Сумма одноименно монотонных функций одноименно монотонна со слагаемыми.

 

*. Произведение положительных одноименно монотонных функций одноименно монотонно с сомножителями.

 

*. Изменение знака монотонной функции (умножение на “-1” ) меняет тип монотонности на противоположный.

 

*. Изменение знака аргумента меняет тип монотонности на противоположный.

 

*.Переход от положительной монотонной функции f (x) к арифметически обратной ей функции меняет тип монотонности на противоположный.

 

*. Взаимно-обратные функции одноименно монотонны.

 

*. Суперпозиция одноименно монотонных функций не убывает.

 

*. Суперпозиция разноименно монотонных функций не возрастает.

(При этом суперпозиция не строгая, если не строго монотонна хотя бы одна из функций).

 

Т. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности):

Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел.

Монотонная последовательность всегда имеет предел (возможно не собственный).

∆ Пусть к примеру не возрастает и ограничена снизу .

и inf x_n = l* .

Тогда "e > 0 $N l* > x_N > l*+e "n > N l* < x_n £ x_N < l*+e ▲.

 

Пример: Рассмотрим последовательность : .

1) . Тогда начиная с некоторого номера .

, т.е. и последовательность монотонно убывает. При этом она ограничена снизу, т.к. > 0 .

Следовательно .

В равенстве: перейдем к пределу при :

Þ b = 0×b = 0 Þ .

 

2) c – любое: , и отсюда :.

Т.к. величина является бесконечно малой тогда и только тогда, когда бесконечно малым является её модуль.