Монотонные функции
10. Функция f (x) называется возрастающей на множестве X Ì D(f ) если
, или, что тоже самое
.
20. Функция f (x) называется неубывающей на множестве X Ì D(f ) если
, или, что тоже самое
.
30. Функция f (x) называется убывающей на множестве X Ì D(f ) если
, или, что тоже самое
.
40. Функция f (x) называется не возрастающей на множестве X Ì D(f ) если
, или, что тоже самое
.
Из приведенных определений ясно, что понятие возрастания и убывания функции является понятием глобальным, в отличие от, скажем, непрерывности являющейся понятием локальным.
Функции возрастающие на множестве X или убывающие на множестве X называются монотонными функциями.
Для последовательностей:
10. Последовательность {xn} называется возрастающей, если
"m,n Î N| m > n Þ xm > xn .
20. Последовательность {xn} называется убывающей, если
"m,n Î N| m > n Þ xm < xn .
30. Последовательность {xn} называется не возрастающей, если
"m,n Î N| m > n Þ xm £ xn .
40. Последовательность {xn} называется не убывающей, если
"m,n Î N| m > n Þ xm ³ xn .
Для монотонных функций:
*.Если функция монотонна на множестве, то она монотонна на всяком его подмножестве.
*.Если функция одноименно монотонна на промежутках с общей точкой, то она одноименно монотонна на их объединении.
*.Максимальным промежутком монотонности называется такой промежуток монотонности, который не содержится ни в каком большем промежутке монотонности.
*.Максимальные промежутки одноименной монотонности либо совпадают, либо не имеют общих точек.
*.Максимальные промежутки монотонности (разноименной) могут быть смежными и иметь общий конец.