Доверительные интервалы и доверительные области

Проверка статистических гипотез.

Проверка гипотезы H_o: b_i=b_io. Итак, мы доказали следующие статистические результаты:

1. Вектор оценок имеет нормальное распределение со средним b и матрицей ковариаций (см. формулу (50)) ,

т.е. (см. выражение (49))

или , где ; qⁱⁱ – i-й диагональный элемент матрицы . В качестве оценки дисперсии возьмем .

2. Cлучайная величина распределена по закону хи-квадрат с (n-k) степенями свободы χ²(n-k) (см. формулу (63)).

 

3. Оценки и s² независимы. Отсюда получаем

 

. (76)

 

Из формулы (76) следует, что являются 95%-ным доверительным интервалом для истинного значения коэффициента b_i , где t_c – двусторонняя 95%-ная квантиль распределения Стьюдента с (n-k) степенями свободы.

Для тестирования нулевой гипотезы H_o: b_i=b_io также можно применить статистику формулы (76), а именно, нулевая гипотеза отклоняется на 95%-ном доверительном уровне, если

Проверка гипотезы H_o: b₂ = b₃ =…= b_k = 0 . Предположим, что в число регрессоров включена константа (свободный член): Y_t=b₁+b₂X_t2+…+b_kX_tk +e_t. Нулевая гипотеза состоит в том, что коэффициенты при всех регрессорах равны нулю.

Рассмотрим статистику уравнения

(77)

Как мы показали, знаменатель в (77) имеет распределение

Покажем, что числитель имеет распределение

В самом деле, , где – оператор ортогонального проектирования на подпространство p, порожденное векторами X₁,…,X_k.. Операцию определения отклонения от среднего можно записать в матричной форме:

 

,

 

где P – k_*k матрица, P_ij = 1/n. P есть матрица ортогонального проектирования на вектор S = (1,…,1)′ (константа). Поскольку по нашему предположению вектор S принадлежит подпространству p, то PN = P. Последовательное ортогональное проектирование вектора Y на p и затем на вектор S совпадает с ортогональным проектированием вектора Y на вектор S (теорема о трех перпендикулярах).

Как было установлено ранее (см. «Статистические свойства МНК-оценок», с.36), b_ols и e – независимы, поэтому статистика F из формулы (77) имеет распределение Фишера

(78)

и ее можно использовать для проверки гипотезы H_o: b₂=b₃=…=b_k=0, а именно: гипотеза H_o отвергается на 95%-ном доверительном уровне, если F > F_c, где F_c - односторонняя 5%-ная квантиль распределения Фишера F (k-1, n-k).