Это важное свойство называется ортогональностью матрицы планировки.

Рис. 5

Таблица 8.3

Таблица 8.2

Рис. 4

 

Запись матрицы планирования, особенно для многих факторов громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквенные обозначения.

Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствии со строчной буквой латинского алфавита: Х1-а, Х2-b. Если теперь для строки матрицы плaниpoвaния выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать единицей (табл. 8.2)

 

№ опыта   X1   X2   Буквенное обозначение строк   Y
- + - + - - + + a b ab Y1 Y2 Y3 Y4  

 

Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко запомнить или найти прямым перебором, тo с ростом числа факторов построение матрицы усложняется. Поэтому для перехода от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности рекомендуется следующий прием. При добавления нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Следовательно, можно записать исходный план для одного нового, фактора, а затем повторить его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от эксперимента 2к 2(табл. 8.3)

 

Построение матрицы 2

№ опыта X   Х   Х Буквенное обозначение   Y
- - + + - - + + - + - + - + - + + + + + - - - - с ас. ас аbc b а аb y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8  

 

Остальные приемы несколько сложнее и мы рассматривать их не будем.

По аналогии с полным факторным экспериментом 2можно дать геометрическую интерпретацию полного факторного эксперимента 2.

Геометрической интерпретацией служит куб, координаты вершин которого задают условия опытов. Если поместить центр куба в точку основного уровня факторов, а масштабы по осям выбрать так, чтобы интервал варьирования равнялся единице, то получится куб, изображенный ниже. Куб задает область эксперимента, а центр куба является центром этой области

 

 

3 4

 
 


 

7 8

1 2

 

 
 


5 6

 

8.3.3. Свойства полного факторного эксперимента типа 2 к

 

Мы научились строить матрицы планирования полных факторных экспериментов с факторами на двух уровнях. Теперь выясним, какими общими свойствами эти матрицы обладают независимо от числа факторов. Говоря о свойствах матриц, мы имеем в виду те из них, которые определяют качество модели. Ведь эксперимент и планируется для того, чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими, и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее не ясно куда предстоит двигаться в поисках оптимума. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них - симметричность относительно центра эксперимента - формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или

xij = 0,

где j - номер фактора; N- число опытов.

Второе свойство - так называемое условие нормировки - формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

x2 ij = N.

Это свойство - следствие того, что значения факторов в матрице задают +1, -1. Все это свойства отдельных столбцов матрицы планирования.

Теперь остановимся на свойстве совокупности столбцов. Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или

xijxiu = 0 , uj , j , u = 0, 1, 2, 3, ... , k.

Четвертое свойство называется рототабельностью, т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра и не зависит от направления.

Пример. Даны две матрицы планирования :

a) - - b) - +

+ - + -

- + - +

+ + + -

Проверим выполнимость трех свойств для каждой из матриц. Первое свойство:

(-1)+(+1)+(-1)+(+1)=0– первый столбец матрицы а),

(-1)+(-1)+(+1)+(+1)=0 –второй столбец матрицы а) ,

(-1)+(+1)+(-1)+(+1)=0– первый столбец матрицы b),

(+1)+(-1)+(+1)+(-1)=0 –второй столбец матрицы b) .

Второе свойство: x2 ij = N также выполняется для обеих матриц (столбцы обеих матриц имеют одинаковое число единиц). С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для матрицы а) формула xijxiu = 0 , uj выполняется – (+1)+(-1)+

+(-1)+(+1) = 0 , то для матрицы b) нет – (-1)+(-1)+(-1)+(-1) = - 4. Следовательно, матрица b)спланирована неверно.