Полный факторный эксперимент.

Рис.3

Рис. 2

Пунктирными линиями на рис.1 обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными - границы их совместной области определения. Чтобы указать значения параметров оптимизации, требуется еще одна ось координат. Если ее построить, то по­верхность отклика будет выглядеть как на рис. 2. Пространство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметров оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно.

Исходя из задачи главное требование, предъявляемое к модели - это способность предсказать направление "крутого восхождения", те направления движения к оптимальной точке. Так как мы не знаем до получения модели, какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому требованию, на­зывается адекватной. Проверка выполнимости этого требования назы­вается проверкой адекватности модели. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.

Y

 

 

x_min x_max X

 

На рисунке изображена логарифмическая функция. На некотором отрезке [ x _min , x _max ] она с удовлетворительной точностью описывается двумя уравнениями

Y = log _b X (8.1) и Y = bX (8.2)

Проще - уравнение (8.2) - иначе говоря, полином первой степени. При выборе уравнений наиболее распространенные модели - полиномиальные. Рассмотрим различные полиномы для случая двух факторов:

полином нулевой степени: y = b₀;

полином первой степени: y = b₀ +b₁x₁;

полином второй степени: y = b_o+ b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ +

+b₁₁x₁² + b₂₂x₂²;

полином третьей степени: y = b_o+ b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂ +

+ b₁₁x₁² + b₂₂x₂² + b₁₁₂x₁²x₂ + b₁₂₂x₁x₂² + b₁₁₁x₁³ + b₂₂₂x³.

Итак, предлагается заменить неизвестную функцию отклика полиномом, т.е. аппроксимировать.

Какой из полиномов выбирают на первом этапе? Естественно полином первой степени. После каждой серии опытов определяются коэффициенты полинома, проверяется адекватность моделей. Эти серии опытов проводятся до тех пор, пока мы не достигнем области оптимума. Здесь линейная модель уже не нужна, а осуществляется переход к более высоким полиномам, чтобы более подробно описать область оптимума.