Дисперсий.

Проверка гипотезы равенства двух выборочных

 

Пусть имеются две выборки из нормальной совокупности. Объем каждой выборки равен n₁ и n₂. Дисперсии этих выборок соответственно равны Sи S. Можно ли считать при наличии некоторых различий между величинами Sи S, что данные выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности. Или можно вопрос поставить так: произведено два опыта, из которых один опыт производился с фактором A, а другой - без него. Каждый опыт повторялся n раз. В результате обработки статистических данных получено, что дисперсия признака X в опытах с фактором A равна величине S, а без него S. Оказывает ли влияние исследуемый фактор A на признак X?

Для ответа на поставленные вопросы необходимо произвести сравнение дисперсий и оценить, является ли существенным их различие. Сравнение дисперсий производится по их отношению:

F = S/ S.

В числителе всегда ставится наибольшее значение из двух наблюденных дисперсий. Для проверки гипотезы необходимо вычислить значение F, определить r_{1 =} n₁ – 1 и r₂ = n₂ – 1 , где n₁ и n₂ - обьемы выборок и найти для r₁ и r₂ табличное значение F_Т. Если F F_Т , то расхождение не случайно, если F F_Т, то гипотеза принимается.

Пример. С двух автоматов, обрабатывающих одинаковые детали, взяты две выборки n₁ = n₂ = 1. При этом оказалось, что S= 400 мкм², S= 325 мкм². Ранее установлено, что рассеивание размеров подчинено нормальному закону.

F = 400/325 =1,23.

По таблицам выберем F_T в зависимости от уровня значимости = 0,05 и r₁ = r² =9: F_T = 3,23. Следовательно, гипотезу о несущественном расхождении Sи Sможно считать верной.

 

Примечание. Если выборки берутся из совокупности, незначительно отличающейся от нормальной, то для сравнения дисперсий можно пользоваться критерием F. Если совокупность имеет распределение, значительно отличающееся от нормального, то можно сравнить дисперсии только для больших выборок. В этом случае за критерий оценки можно взять отношение:

Если t_S 3 , то расхождение существенно, если t_S 3 - не существенно.