Несмещенные и эффективные оценки характеристики.

Выборочные характеристики. Состоятельные,

 

В начале курса были рассмотрены такие понятия как классическая и статистическая вероятности.

Если классическая вероятность - это теоретическая характеристика, которую можно определить, не прибегая к опыту, то статистическая вероятность может быть определена только по результатам эксперимента. При большем числе опытов величина W(A) может служить оценкой для вероятности P(A). Достаточно вспомнить классические опыты Бюффона и Пирсона. Подобные аналогии можно продолжить и далее. Например, для теоретической характеристики М(x) таковой аналогией будет -среднее арифметическое:

= _if_i / n,

для дисперсии D(x) эмпирическим аналогом будет статистическая дисперсия :

S²(x) = (x_i - )²f_i / n.

Эмпирические характеристики , S²(x), W(A) являются оценками параметров М(x), D(x), P(A). В тех случаях, когда эмпирические характеристики определяются на основе большого числа опытов, использование их в качестве теоретических параметров не приведет к существенным ошибкам в исследовании, однако в тех случаях, когда число опытов ограничено, ошибка при замене будет существенна. Поэтому к эмпирическим характеристикам, являющимися оценками теоретических параметров предъявляются 3 требования:

оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Оценка называется состоятельной, если вероятность отклонения ее от оцениваемого параметра на величину меньшую как угодно малого положительного числа стремится к единице при неограниченном увеличении числа наблюдений n,т.е.

P( |^- | < ) = 1

где - некоторый параметр генеральной совокупности,

^/- оценка этого параметра. Большинство оценок различных чис­ловых параметров отвечают этим требованиям. Однако одного этого требования бывает недостаточно. Необходимо, чтобы они еще были и несмещенными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру:

М (^/) = .

Примером состоятельной и несмещенной оценки систематического ожидания является средняя арифметическая:

М () = .

Примером состоятельной и смещенной оценки является

дисперсия:

М ( S²(x) ) = [(n – 1)/ n]D(x).

Поэтому, чтобы получить несмещенную оценку теоретической дисперсии D(x) надо эмпирическую дисперсию S²(x) умножить на n/(n – 1) , т.е.

S²(x) = (x_i - )²f_i / nn /(n – 1) = (x_i - )²f_i/(n – 1).

Практически эту поправку вносят при вычислении оценки дисперсии в тех случаях, когда n < 30 .

Состоятельных несмещенных оценок может быть несколько. Например, для оценки центра рассеивания нормального распределения наряду со средней арифметической , может быть взята медиана . Медиана так же, как и является несмещенной состоятельной оценкой центра группирования. Из двух состоятельных несмещенных оценок для одного и того же параметра естественно отдать пред­почтение той, у которой дисперсия меньше.

Такая оценка, у которой дисперсия будет наименьшей относительно оцениваемого параметра, называется эффективной. Например, из двух оценок центра рассеивания нормального распределения М(x) эффективной оценкой является , а не , так как дисперсия меньше дисперсии . Сравнительная эффективность этих оценок при большой выборке приближенно равна: D() / D= 2/= 0,6366.

Практически это означает, что центр распределения генеральной совокупности (назовем его₀ ) определяется пос той же точностью при n наблюдениях, как и при 0,6366 n наблюдениях по средней арифметической .

4.4. Свойства выборочных средних и дисперсий.

1. Если объем выборки достаточно велик, то на основе закона больших чисел с вероятностью близкой к единице, можно утверждать, что средняя арифметическая и дисперсия S² будут как угодно мало отличаться от М(x) и D(x), т.е.

М(x), S²(x) D(x),

2. Ошибка вычисления М(x) по средней выборки зависит от ее объема n и равна S / .

Ошибка вычисления среднеквадратического отклонения генеральной совокупности по среднеквадратическому отклонению выборки зависит от ее объема и равна S / .

3. Если случайная величина X в генеральной совокупности име­ет нормальное распределение со средней М(x) и дисперсией D() , то и средние арифметические выборок из этой совокупности будут подчинены также нормальному распределению со средней и дисперсией D(), каков бы не был объем выборок n, лишь бы число выборок было достаточно велико.

4. Когда дисперсия D(x), генеральной совокупности неизвестна, тогда для больших значений n с большей вероятностью малой ошибки можно дисперсию выборочных средних вычислить приближенно по равенству:

D() = S²(x) / n,

где S²(x) = (x_i - )²f_i / n- дисперсия большой выборки.