Вся математика на семи страницах

Конспект

Факультет изучения всего сущего

Оглавление

Литература

1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2005, - 480 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование., 2006, - 576 с.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 2006. - 576 с.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высш. шк., 2006. - 404 с.

5. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. - М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 448 с.

 

Введение. Значение дисциплины для инженеров-электриков. 3

Предмет теории вероятности. Краткая история её развития. 4

Основные термины. Классификация случайных событий. 7

Логические схемы анализа надежности. 13

Вероятность события. Формулы непосредственного расчета вероятности. 15

1. Классическая формула определения вероятности события. 15

2. Геометрическая формула определения вероятности события. 16

3. Статистическая формула определения вероятности события. 18

4. Условная вероятность события. 20

Основные формулы вычисления вероятности событий. 20

Формулы умножения вероятностей. 20

2. Формулы сложения вероятностей. 23

3. Определение вероятности хотя бы одного события. 26

4. Формула полной вероятности. 28

5. Формула Бейеса (теорема гипотез) 29

6. Формула Бернулли (частная теорема о повторении опытов) 30

Способы задания законов распределения случайных величин. 33

Ряды распределения СВ.. 33

Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины.. 37

Плотность распределения вероятностей случайной величины и гистограмма. 42

Основные параметры законов распределения случайных величин. 45

Мода и медиана случайной величины.. 45

Математическое ожидание СВ и его свойства. 46

Моменты СВ как характеристики различных свойств этих величин. 50

Дисперсия случайной величины - характеристика разброса (рассеивания) значений случайной величины около центра распределения. 51

Оглавление. 55

 

 

Вся математика на семи страницах

 

 

Выполнил: самоучка 26-го года обучения,

в определенных кругах известный как Влад Велич.

Проверил: таких дураков нет.

Все ошибки на совести автора. Аминь.

 

Нульгород, 2013 г.

 

Сделаем блиц-обзор всех известных автору областей математики по двум критериям:

1. Как эти области связаны между собой.

2. Где они используются (в первую очередь, конечно, интересно их использование физикой).

Двигаться будем от самых общих понятий к все более частным, навстречу историческому пути математики от частностей к все более широким обобщениям.

Не будем приводить конкретных теорем и почти не будем – определений. Предполагается, что этот материал знаком читателю. Цель этого текста – дать связную картину математической науки, а не разглядывать каждое дерево в лесу.

Несомненно, опущен ряд неизвестных автору областей математики, однако джентльменский набор выпускника физфака в картину вошел – а также еще кое-что в качестве бонуса.

Начинаем.

 

Логика, метаматематика, теория формальных языков. Имеет огромное гносеологическое значение. Используется в работах по искусственному интеллекту. К физике эти области безразличны. Сомнения метаматематиков относительно применимости тех или иных аксиом или методов меня как физика мало трогают – физика сплошь да рядом пользуется куда более сомнительными приемами, преступными с точки зрения всех математических школ. Для физика главный критерий – соответствие получившейся модели эксперименту.

 

Теория множеств. Наиболее общая теория, рассматривающая множества различного вида и их свойства. Естественно, применяется в физике: если доказано, что исследуемое множество имеет тот или иной известный вид, для него оказываются справедливыми все теоремы, доказанные для этого вида множеств. Собственно, всю математику можно рассматривать как различные разделы теории множеств, отличающиеся видом множества и операций над его элементами. Многие из этих разделов вкладываются один в другой как матрешки: группоид является частным случаем множества, полугруппа – частным случаем группоида, группа – частным случаем полугруппы, и т.д. На каждом этапе на множество, вначале совершенно произвольное, накладываются все более жесткие ограничения. Здесь идет борьба двух факторов: чем меньше ограничений наложено, тем шире область применимости доказанной теоремы – но тем труднее хоть какую-то теорему доказать. Поэтому математики всегда стремятся максимально обобщить полученный результат, или получить новый для максимально общего случая; а когда это не удается, вздохнув, вводят какие-нибудь ограничения.

Уже на этапе произвольных множеств вводятся отношения равенства и неравенства, которые отражают важнейшие философские понятия тождества и различия. Вводится также понятие отображения одного множества на другое, отражающее важнейшие категории взаимосвязи и изменения (наиболее ярко это проявляется для такого частного случая отображений, как функции). Отображение называется также оператором. Вводятся понятия гомоморфного и взаимно однозначного отображения. Гомоморфное взаимно однозначное отображение называется изоморфным. Понятие изоморфизма необычайно полезно: если доказано, что множество А изоморфно относительно некоторых операций, правил и свойств множеству В, все теоремы, доказанные для этих операций, правил и свойств во множестве А, оказываются справедливы и во множестве В, и обратно. Это позволяет не только расширить круг применимости уже готовых результатов, но и легче получать новые, выбирая из набора изоморфных множеств то, в котором данную конкретную теорему будет легче всего доказать (так это происходит, например, в теории струн, имеющей шесть изоморфных формулировок).

Прямо из общей теории множеств, используя только отношения пересечения, объединения и принадлежности, получается понятие топологического пространства. Так рождается топология. Впрочем, с самыми важными характеристиками придется подождать до введения действительного числа и метрики.

 

Через понятие отображения вводится понятие операции, то есть отображение множества наборов из одного элемента (унарная операция), двух элементов (бинарная) и т. д. на множество самих элементов. Вводится понятие операции, определенной на множестве – то есть такой, что для каждого набора n элементов множества, где n – размерность операции (1 для унарной, 2 для бинарной и т.п.), найдется элемент множества, соответствующий этому набору. Множество с определенной на нем бинарной операцией называется группоидом. При этом не накладывается больше никаких ограничений ни на множество, ни на операцию.

Наличие операции, определенной на множестве, и отношения равенства позволяет определить понятие уравнения, которое отражает такую важнейшую философскую сущность, как закон (например, физический).

 

Если операция, заданная на группоиде, ассоциативна, такой группоид называется полугруппой. Множество натуральных чисел является полугруппой как по сложению, так и по умножению.

 

Частным случаем полугруппы является группа. Чтобы полугруппа стала группой, нужно добавить существование на множестве нейтрального элемента и обратного элемента к каждому. Необязательна даже коммутативность, коммутативные группы выделяются в отдельный класс и называются абелевыми. Теория групп хорошо разработана и используется в квантовой механике, кристаллографии и где-то еще.

 

Следующим этапом является кольцо. Оно требует задания сразу двух операций: сложения и умножения, причем по сложению кольцо является абелевой группой, а от умножения требуется дистрибутивность относительно сложения. Один вариант терминологии требует от кольца также ассоциативности умножения, другой же не требует, а кольца, обладающие таким свойством, называет ассоциативными. Больше никаких ограничений на умножение не накладывается (ни коммутативности, ни существования единицы и обратных элементов). Теория колец также хорошо разработана, но где она используется, я не знаю.

 

Следующий этап – поле. Полем называется кольцо, являющееся абелевой группой не только по сложению (что входит в определение кольца), но и по умножению, причем нуль (нейтральный элемент по сложению) не равен единице (нейтральный элемент по умножению). Где и как используется собственно теория полей, я не знаю, но, надо думать, она хорошо разработана, т.к. полями являются множества рациональных, действительных и комплексных чисел. А значит, теоремы, доказанные для них за века развития математики, можно перенести на любое поле, если только они не опираются на не введенные еще понятия (скажем, в поле не обязано существовать отношение «больше» и «меньше»; в поле комплексных чисел его, кстати, и не существует). Разумеется, все поля являются кольцами, а также группами как по сложению, так и по умножению, так что можно доказанные для чисел теоремы переносить и на кольца с группами, но надо следить, чтобы они не опирались на необязательные для групп и колец свойства.

 

Мы подошли к понятию числа. В математике нет понятия важнее для естественных наук, поскольку число отражает важнейшую философскую категорию количества. До сих пор 90% всей математики и 99% ее применения (понятно, что цифры называю от балды) так или иначе строится на понятии числа.

Все виды чисел строятся на основе натуральных (натуральными числами мы неявно пользовались еще различая унарные и бинарные операции). Множество натуральных чисел, очевидно, и по сложению, и по умножению является всего лишь полугруппой, но не группой (и тем более не кольцом и не полем), так как для этих операций на множестве натуральных чисел нет обратных элементов. Однако оно обладает коммутативностью как по сложению, так и по умножению, а также дистрибутивностью и отличными друг от друга нулем и единицей, что совершенно необязательно для полугруппы, но является необходимыми (но, увы, недостаточными) признаками ни много ни мало поля.

Введение понятия натурального числа позволяет построить двумерную и трехмерную геометрию(чтобы определить треугольник, нужно знать, что такое «три»). Правда, эта геометрия пока будет лишена количественных теорем типа теоремы Пифагора (до введения иррациональных чисел невозможно адекватно описывать длину), но уже способна установить, скажем, равенство треугольников.

Чтобы дополнить множество натуральных чисел до группы по сложению, нужно ввести отрицательные целые числа как обратные по сложению натуральных чисел. Таким образом получается множество целых чисел – причем сразу не только группой, но и кольцом. Попутно возникает операция вычитания. На множестве целых чисел можно построить, например, комбинаторику (если не пользоваться в ней формулой Стирлинга и прочими инструментами матана).

Чтобы дополнить множество целых чисел до поля, нужно определить обратные по умножению целых чисел элементы – то есть дроби с числителем «1». Через умножение этих дробей на целые числа определяются все рациональные дроби. Так мы получили поле рациональных чисел, определив попутно операцию деления.

Чтобы ввести иррациональные числа посредством дедекиндовых сечений, нужно определить отношения «больше» и «меньше», в чем до сих пор не было надобности. Правда, иррациональные числа можно получить, определив операцию корня целой степени (возведение в целую степень элементарно определяется через операцию умножения), однако так мы получим не все иррациональные числа, а только алгебраические (в отличие от трансцендентных). Доказывается, что каждое иррациональное число можно приблизить рациональными числами с любой наперед взятой степенью точности (для введения понятия «приблизить» нам снова нужны только что введенные отношения «больше и меньше»). На этом основании строятся операции над иррациональными числами, включая возведение их в степень – как рациональную, так и иррациональную. Рациональные и иррациональные числа объединяются под названием действительных.

Применив извлечение корня любой степени к отрицательному числу, получаем мнимую единицу – корень из -1. Во введении иных мнимых чисел нет необходимости, ибо корень из любого n<0 можно представить как корень из

-1, умноженный на корень из модуля n.

Дальнейшие расширения понятия числа связаны с введением упорядоченных наборов из двух (комплексные числа), трех (кватернионы) и вообще n действительных чисел.

 

Отображение произвольного множества на множество чисел называется функционалом, а отображение множества упорядоченных наборов из n чисел на множество чисел – функцией n переменных. Важность понятия функции для естественных наук является произведением важности понятия числа (отражающего количество) и понятия отображения (отражающего изменение и взаимосвязь).

Отдельно хочется поговорить о таком забавном понятии, как простейшие элементарные функции. Этих функций всего ничего: полином, степенная функция, логарифм и набор тригонометрических функций. Забавно это понятие тем, что невозможно дать определение простейшей элементарной функции иначе, чем перечислив их все. Нет никаких свойств, которые был бы присущи всем простейшим элементарным функциям и при этом только им. Поэтому сие понятие – чистой воды историческая условность.

Суперпозицией простейших элементарных функций вида

y = f₁(f₂(…(f_n(x))…)), где f₁…f_n – произвольные простейшие элементарные функции, строится множество элементарных функций. Существует стереотип, что с ними удобнее работать, чем с любыми неэлементарными функциями – поэтому интегралы, не берущиеся в элементарных функциях, вызывают в студенческом уме оторопь. Между тем чем страшная и ужасная функция ∫exp(-t²)dt хуже самой функции exp(-t²)? Она так же бесконечно дифференцируема, от нее так же легко найти производную любого порядка и тем самым исследовать ее поведение. Да, нужен алгоритм для вычисления этой функции, но ведь нужен алгоритм и для вычисления самой exp(-t²). Попробуйте-ка самостоятельно возвести экспоненту в степень -25,87! Мы настолько привыкли к калькуляторам и компьютерам, что не задумываемся, как происходит возведение в дробную степень или, скажем, поиск синуса от числа 0,73. Так что единственное различие, которое я тут вижу – что вычисление экспоненты забито в программу Excel, а вычисление интеграла – нет. Но никто ведь не заставляет ограничиваться Excel’ем. Если лень искать специализированную среду, в конце концов, программа вычисления интеграла методом прямоугольников на любом языке программирования пишется за тридцать секунд.

 

Введение действительных чисел позволяет построить целые области математики: корректно использовать длину в геометрии, построить геометрию аналитическую (но, до введения понятия производной, не дифференциальную), линейное планирование, теорию графов и многие другие области дискретной математики, о существовании большинства из которых я наверняка даже не подозреваю. Сами же числа изучаются, внезапно, теорией чисел(впрочем, опять-таки до рождения анализа, только элементарной, а не аналитической). Насколько я могу судить по своему шапочному знакомству с этой теорией, она занимается главным образом целыми числами специального вида (простые, совершенные, abc-тройки и т.д.). Значение это все имеет скорее онтологическое (ну интересно же, в каких соотношениях друг с другом находятся эти кирпичики математики), а также применяется в IT-технологиях (скажем, в алгоритмах шифрования). Применения теории чисел в физике я себе не представляю (кроме одного памятного случая, когда подсчитываемая сумма оказалась арифметической прогрессией, и подсчитывать ее не пришлось).

 

Введение действительных чисел позволяет определить важнейшее понятие метрического пространства, то есть множества, на котором определено расстояние между элементами (которое есть действительное неотрицательное число). А там, где есть «ближе и дальше», появляются сходимость, предел, производная и интеграл (мера множества возникла одновременно с введением действительного числа). То есть дифференциальное и интегральное исчисление в любых метрических пространствах. Множество комплексных чисел, изоморфное плоскости, и множество действительных чисел, изоморфное прямой, тут являются не более чем важными частными случаями, в которых за расстояние между элементами принимается модуль разности между ними. Понятие производной отражает понятие скорости изменения (вторая производная – скорости изменения этой скорости) и потому входит чуть ли не во все физические законы. Гигантская полезность дифференциального исчисления демонстрируется уже этим, не говоря о мощнейших методах исследования функций, им предоставляемых.

Отметим, что здесь снова возникает война общности доказательства с его легкостью: теорема может быть доказана для всех функций, для функций с ограничениями на разрывы, для непрерывных функций, для дифференцируемых функций, для функций с ограничениями на производную и т.д. Желательно доказать теорему в максимально широких условиях, а легче – в максимально узких. Впрочем, поскольку чуть ли не все физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, их решения заведомо дифференцируемы, а потому и непрерывны, так что троды плудов математиков по поводу классов Гельдера и тому подобных извращений физиков обычно не трогают.

 

Введение понятия поля позволяет построить и теорию линейных пространств.Все линейные пространства являются абелевыми группами по сложению, но операции умножения элементов друг на друга не требуют и потому в общем случае не относятся к кольцам, тем более к полям – однако линейное пространство по определению требует операции умножения на скаляр. В качестве множества скаляров выступает обычно поле действительных или комплексных чисел, но может выступать и любое другое поле. Частным случаем линейного пространства является нормируемое, а частным случаем нормируемого – евклидово. Используется… ох, где только не используется. Линейным пространством над полем, скажем, действительных чисел является и само поле действительных чисел, и множество векторов, введенное в элементарной геометрии, и множество всех функций с одной и той же областью определения (а если наложить на них некоторые весьма широкие условия, это пространство еще и евклидово). Важным линейным пространством является пространство матриц, на которых стоит половина линейной алгебры. Отметим, что пространство матриц является ассоциативным кольцом, но не полем (в силу некоммутативности умножения). Отдельные аплодисменты теориям разложения функций по базисам, из коих наиболее известен Фурье-анализ. Как обобщение дифференциального исчисления на функционалы, определенные в пространстве функций, строится вариационное исчисление.

 

На линейных пространствах определяются также тензоры(вещь чрезвычайно полезная для описания распределенных в пространстве величин) и линейные операторы, о которых тоже доказана куча теорем. Интерес к линейным операторам не случаен и не является поиском под фонарем. Сами операторы интегрирования и дифференцирования линейны. Вследствие этого линейны многие физические законы. Линейный дифур от функции x(t) называется линейным именно потому, что, собрав в левой части все члены, зависящие от x, а в правой – не зависящие, мы получим в левой части линейный оператор над x. А значит, к этой самой левой части применим весь мощный аппарат работы с линейными операторами и, прежде всего, справедлив принцип суперпозиции. Линейных же дифуров в физике много – то же уравнение гармонического осциллятора, например. А уж квантовая механика просто построена на линейных (эрмитовых) операторах в евклидовом пространстве волновых функций, там они не приятный бонус, а воздух и хлеб. Так что немало столпов нашего мира покоится на линейных операторах, и нам, быть может, фантастически повезло, что с ними так легко работать. Хотя естественнее считать, что под воздействием нашего линейного мира мы и воспринимаем линейную математику как самую легкую.

 

Особняком стоит теория вероятностей и основанные на ней разделы – статистика, теория информации, теория массового обслуживания и т.п. Они требуют введения новых понятий, не встречающихся более нигде в математике: события, случайности и вероятности. Операции сложения и умножения событий эквивалентны операциям объединения и пересечения множеств, так что их можно вводить сразу же после теоретико-множественных операций, а понятие вероятности – сразу же после понятия числа. Однако для анализа случайных величин с их законами распределения необходимо дифференциальное исчисление, а для корректного задания случайных функций – теория меры.

Попутно отметим любопытную тенденцию. При изучении интегралов по старинке считается удачей взять интеграл в элементарных функциях (хотя элементарная функция и не имеет особых преимуществ перед своим интегралом). При решении дифуров удача – это вообще выразить решение в виде интеграла, берущийся он или не берущийся. А при работе со случайными величинами биться приходится за то, чтобы вообще перейти в неслучайную математику – не до того, насколько она там сложна. Как все меняется.

 

Теория алгоритмов. Еще одна особняком стоящая область. Используется в IT и фундаментальной математике (вопросы разрешимости задач). Прямого применения в физике не представляю, хотя… Есть такой раздел – «колмогоровская сложность», так вот он грозится с помощью теории алгоритмов ни много ни мало переформулировать теорию вероятностей. А поскольку переформулировать что-то имеет смысл, только если работать станет удобней, это и для нас может быть полезно-с.

 

Безусловно, какие-то области математики опущены из-за их неизвестности автору, а кое-где в построения наверняка вкрались ошибки, но в общем и целом, наверное, так.