Геометрическая формула определения вероятности события

Классическая формула определения вероятности события

Вероятность некоторого события А может быть найдена, как отношение количества исходов, благоприятствующих событию А к общему количеству исходов опыта, удовлетворяющих схеме случаев.

Р(А) = m/n, (1)

где n – общее количество исходов опыта, удовлетворяющих схеме случаев;

m – количество исходов, благоприятствующих событию А.

Схема случаев подразумевает три обязательных условия применения классической формулы:

1) исходы опыта должны быть несовместными;

2) исходы опыта должны образовывать полную группу;

3) исходы опыта должны быть равновозможными.

Пример 7

Определить вероятность того, что будет произведен выстрел при игре в русскую рулетку. Для ещё не игравших в эту азартную (но не виртуальную) игру сообщим правила. В восьми зарядный револьвер вставляется один патрон. Барабан раскручивается случайным образом, и игроки по очереди нажимают на курок, приставив дуло к своему виску.

Решение. Вероятность того, что револьвер выстрелит с первой попытки Р(А)=1/8, так как всего возможно восемь исходов (восемь положений барабана), все восемь исходов равновозможны и несовместны.

Пример 8

Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз монета упадет гербом вверх.

Этот пример часто называют «примером с ошибкой Д’Аламбера», так как при его решении известный французский математик и философ (1717 – 1783) допускал важную методологическую ошибку.

Д’Аламбер считал, что возможны три несовместных исхода, образующих полную группу:

– монета дважды упала цифрой вверх;

– монета дважды упала гербом вверх;

– по одному разу наблюдались герб и цифра.

Из этих исходов поставленному вопросу благоприятствуют последние два исхода. В результате искомая вероятность «по Д’Аламберу» равна 2/3. Однако это решение ошибочно.

Причина ошибки заключается в том, что перечисленные выше исходы не являются равновозможными. Первые два исхода можно получить единственным способом: обязательно цифра при первом подбрасывании и обязательно цифра при втором подбрасывании (для первого исхода), обязательно герб при первом подбрасывании и обязательно герб при втором подбрасывании (для второго исхода). Третий исход Д’Аламбера можно получить двумя путями: сначала цифра – потом герб или сначала герб – потом цифра, т.е. он будет наблюдаться в два раза чаще, чем любой из предыдущих исходов.

Решение. Равновозможных исходов, соответствующих «схеме случаев», необходимо рассматривать четыре: ЦЦ, ГГ, ГЦ, ЦГ (здесь использованы следующие обозначения: «Г» - монета упала гербом вверх, «Ц» - монета упала вверх цифрой).

Интересующему событию (монета хотя бы один раз упала гербом вверх) благоприятствуют три последних исхода. Таким образом, искомая вероятность равна 3/4.

Классическую формулу определения вероятности нельзя применять, если:

1) не выполняется схема случаев;

2) числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности.

Рассмотрим пример.

Пример 9

На линии электропередачи длиной 80 км произошел обрыв провода (рис. 15). Считая, что возможность обрыва в любом месте линии одинакова, определить вероятность того, что обрыв произошел на участке СВ длиной 20 км.

АВ = L = 80км, СВ = l = 20км.

Решение:

Количество возможных исходов опыта (мест обрыва) на участке СВ бесконечно велико, так как оно равно числу точек, которое можно поставить на этом участке. Также бесконечным является количество возможных мест обрыва на всей линии АВ. Поэтому классическую формулу вычисления вероятности использовать нельзя (её применение даёт в результате неопределенность). Несложно предположить, что если бы участок СВ составлял половину длины всей ЛЭП, то вероятность обрыва на этом участке составляла бы 0,5, причем независимо от того, где расположен этот участок (в начале ЛЭП, в её конце или в середине) и является ли он цельным или разрывным. Для участка, составляющего 25% длины ЛЭП, ответ равен 0,25 и т.д. Таким образом, вероятность Р(С) обрыва на участке СВ может быть найдена как отношение длины этого участка к длине всей линии:

Р(С) = l/L = 20/80 = 1/4 = 0,25.

В наиболее общем виде формула имеет вид:

Р(А) = mes d/mes D. (2)

Иначе говоря, геометрическая вероятность определяется как отношение меры mes d области d, благоприятствующей событию А, к мереmes D всей области D.

Понятие мера (mes) применяется в теории множеств и является обобщением понятий длина отрезка, площадь плоской фигуры и объём тела на множества более общей природы. Для задач, рассматриваемых в рамках настоящего курса, мерой области являются:

1) для линий – их длина: Р(А) = l/L;

2) для плоских фигур – площадь: Р(А) = s/S;

3) для тел – объем: Р(А) = v/V,

где малыми буквами обозначены меры областей, благоприятствующих рассматриваемому событию, а большими – меры всей области.

Пример 10

Произошел перерыв электроснабжения цеха в течение периода наблюдения, равного одним суткам. Считая, что возможность отключения электроэнергии в любое время суток одинакова, определить вероятность того, что момент отключения пришелся на одну из рабочих смен общей длительностью 16 ч.

Решение: Условие задачи можно представить в виде линейной схемы (рис. 16), поэтому целесообразно воспользоваться геометрической формулой определения вероятности события. Обозначив искомую вероятность Р(А), получаем ответ:

Р(А) = l/L= Т_Р/Т = 16ч/24ч = 2/3.

Этот пример показывает, что в геометрической формуле понятие «длина» не следует понимать буквально, в зависимости от условий задачи «длина» может измеряться не только в метрах, но и в других единицах.

Пример 11

По диаграмме Венна (рис. 17) определить вероятность события А.

Решение: По геометрической формуле вычисления вероятностиР(А) = s/S

Ввиду того, что основу диаграммы составляет «единичный» квадрат (стороны равны единице), S=1.

Следовательно, Р(А) = s, т.е. на диаграмме Венна вероятности событий численно равны площадям фигур, обозначающих эти события.

Геометрическая формула неприменима, если нарушается условие равновозможности появления события в любой части рассматриваемой области (линии, плоской фигуры, тела).