Задачи для самостоятельного решения

Вопросы и задачи для самоконтроля

Задача 3

Задача 2.

Задача 1

Примеры решения задач

Рекомендации по решению задач (алгоритм решения)

 

1. Изобразить схематично ход лучей при дифракции для точки наблюдения Р. Указать на схеме характерные параметры опыта (расстояния, углы и др.).

2. Записать условие максимума или минимума при дифракции (в зависимости от условий задачи).

3. Получить расчетную формулу.

4. Провести вычисления. Проанализировать полученный результат.

 

Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны
l₀ = 600 нм нормально падает на диафрагму с круглым отверстием радиусом R = 0,6 мм. В центре экрана, расположенного на расстоянии b₁ = 18 см от диафрагмы, наблюдается темное пятно.

На какое минимальное расстояние Db, измеряемое вдоль оси, перпендикулярной отверстию, нужно удалить экран, чтобы в центре его вновь наблюдалось темное пятно?

Дано:

l₀ = 600 нм

R = 0,6 мм

b₁ = 18 см

__________

Db = ?

 

1. На схеме изображены только крайние лучи из тех, которые формируют картину в точках наблюдения

2. По условию задачи имеем параллельный пучок света. Это означает, что
a ® ¥ и формула (8) принимает вид

.

Учтем, что первоначально в центре экрана (в точке Р₁) наблюдалось темное пятно (минимум при дифракции Френеля). Следовательно, в отверстии диафрагмы должно укладываться четное число зон Френеля:

R² = r₁² = b₁m₁l₀, где m₁ – четное число.

Чтобы после смещения экрана в положение 2 в центре его (в точке Р₂) вновь наблюдалось бы темное пятно, число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, должно измениться на 2, т.е. m₂ = m₁ – 2.

R² = r₂² = b₂m₂l₀ .

3. При заданных R, b₁, l₀ можно найти .

Тогда и

.

Окончательно получим для

.

4. Найдем численное значение

.

Заметим, что задачи на применение метода зон Френеля традиционно нелегко усваиваются студентами. Поэтому советуем решить дополнительно задачи № 16.29, 16.32 [2] , по ответам в конце сборника задач [2] даны пояснения.

На щель в диафрагме падает нормально монохроматический свет с длиной волны l₀ = 600 нм. Дифракционная картина проецируется на экран с помощью линзы, расстояние от линзы до экрана L = 1 м. Ширина центрального максимума на экране l = 3 см. Какова ширина щели?

1. Изобразим схему хода лучей при дифракции света на щели в параллельных лучах.

Здесь же изобразим график распределения интенсивности света при дифракции на щели. В центре картины наблюдается максимум света. Шириной центрального максимума считают расстояние l между ближайшими к нему дифракционными минимумами.

Дано:

l₀ = 600 нм

L = 1 м

l = 3 см

____________

b = ?

2. Запишем условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели (формула (3)):

b sin j = ml₀ , m = 1 по условию задачи.

3. Из схемы: Для малых углов sin j = tq j.

Тогда ; .

Расчетная формула .

4. .

Заметим: при заданных размерах щели b и расстоянии от линзы до экрана L ширина центрального максимума l тем меньше, чем меньше длина волны l₀ монохроматического света.

При нормальном падении на дифракционную решетку света от паров натрия желтая линия с длиной волны l₁ = 589 нм наблюдается в спектре первого порядка (m = 1) под углом a =7⁰ 30’.

Оцените: а) период дифракционной решетки d;

б) наибольший (предельный) порядок спектра m_пр для линии
l₁ = 589 нм;

в) минимальную ширину решетки a_min, если известно, что в спектре первого порядка разрешены линии желтого дублета натрия
(l₁ = 589 нм и l₂ = 589,6 нм);

г) угловое расстояние dg между линиями желтого дублета в спектре первого порядка.

 

 

1. Изобразим ход лучей при дифракции света на дифракционной решетке

 

Дано

l₁ = 589 нм

l₂ = 589,6 нм

m = 1

d = ?

g = 7⁰ 30’

_______________

m_пр = ?

a_min = ? dg = ?

Освещение немонохроматично, соответственно для любого m ¹ 0 свет разлагается в спектр.

2. Запишем условия для дифракционных максимумов, формула (5):

d sinj = ml_0.

Нам придется также воспользоваться формулами (6) и (7) для дисперсии и разрешающей способности решетки:

; .

3. а) задано, что первая желтая линия дублета натрия наблюдается при m = 1 под углом j. Это условие позволяет вычислить период решетки:

d sin j = ml₁ ,

_;

б) при оценке наибольшего (предельного) порядка спектра учтем, что угол дифракции a £ 90⁰ , sin j £ 1. Подставив sin j = 1 в формулу (5), получим расчетную формулу для m_пр:

;

 

в) по условиям задачи в спектре первого порядка разрешены линии желтого дублета l₁ = 589 нм, l₂ = 589,6 нм. Используем формулу для разрешающей способности решетки R. Разность длин волн спектральных линий dl₀ = l₂ – l₁, <l₀> = . При известном m формула позволяет оценить
N – общее число штрихов дифракционной решетки:

; .

Зная N и d, найдем ширину решетки a = Nd.

Расчетная формула имеет вид:

;

г) для вычисления углового расстояния между желтыми линиями дублета воспользуемся формулой для угловой дисперсии:

, отсюда , при этом значение cosj оценим для одной из линий дублета.

4. Вычислим искомые величины:

а) sin j = 0,130; ;

б) .

Наибольший (предельный) порядок спектра для желтой линии m_пр = 7;

в) dl₀ = 589,6 – 589 = 0,6 нм;

;

;

г) cos j =0,9915; .

Задача 4.Определить угол отклонения j лучей зеленого света (l = 0,55 мкм) в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой d = 0,020 мм.

 

Дано:

l = 0,55 мкм = 5,5 ×10^–7 м

m = 1

d = 0,020 мм = 2,0×10^–5 м

____________________

Найти j.

Из рисунка видно, что оптическая разность хода D₂₁ световых волн, идущих под углом дифракции j, после прохождения дифракционной решетки равна

D₂₁ = d sin j. (1)

Запишем условие максимального усиления световых волн, идущих под углом дифракции j (под этим углом наблюдается максимум для зеленого света)

D₂₁ = ml . (2)

Тогда, учитывая выражения (1) и (2), получаем

d sin φ = ml .

Откуда и

.

 

1.1. Какие из перечисленных явлений характерны для дифракции света?

Изменение длины световой волны.

Пространственное разделение световых волн по их длинам.

Огибание световой волной краев непрозрачной преграды.

Пространственное перераспределение интенсивности световой волны.

1.2. На рисунках изображены зоны Френеля для сферической световой волны (S – точечный источник, P – точка наблюдения).

Укажите правильные утверждения.

При полностью открытом фронте волны ...

... амплитуда суммарного колебания в точке P равна половине амплитуды колебаний, создаваемых в этой точке первой зоной Френеля.

... во всех точках наблюдения на прямой ОР интенсивность света отлична от нуля.

... суммарная интенсивность света в точке P равна половине интенсивности, обусловленной первой зоной Френеля.

... суммарная интенсивность света в точке P равна четверти интенсивности, обусловленной первой зоной Френеля.

 

1.3. Между точечным источником света и экраном помещен небольшой непрозрачный диск. Что наблюдается на экране?

Во всех точках экрана интенсивность нулевая.

На экране видны чередующиеся светлые и темные кольца, а в центре колец – темное пятно.

Экран освещен, при этом к его краям интенсивность света возрастает.

На экране видны чередующиеся светлые и темные кольца, а в центре – светлое пятно.

1.4. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Зависит ли число главных максимумов от ...

... постоянной решетки?

... размеров решетки?

... длины волны падающего света?

... интенсивности световой волны?

На какие вопросы Вы ответили "да"?

 

1.5. Монохроматический свет падает нормально на дифракционную решетку. В спектре второго порядка красная линия (l = 700 нм) наблюдается под углом j₂ = 30⁰. Под каким углом j₃ расположена фиолетовая линия в спектре третьего порядка? Каков наибольший порядок m спектра для красного света? Укажите сумму номеров ответов.

j₃ = 48⁰. j₃ = 25⁰. j₃ = 18⁰.

m = 4. m =6. m =3.

1.6. В опыте по наблюдению дифракции монохроматической рентгеновской волны кристалл поворачивают вокруг оси 0, перпендикулярной плоскости рисунка.

Изменяется ли длина волны дифрагированного излучения?

Зависит ли число дифракционных максимумов от длины падающей волны?

Зависит ли число дифракционных максимумов от амплитуды падающей волны?

Зависит ли число дифракционных максимумов от межплоскостного расстояния?

На какие вопросы Вы ответили "да"?

 

1.7. Задача. Постоянная дифракционной решетки в n = 4 раза больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Определить угол a между двумя первыми дифракционными максимумами.

14⁰ . 29⁰ . 20⁰ . 58⁰.

 

1.8. Задача. На дифракционную решетку, содержащую n = 400 штрихов
на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (l = 0,5 мкм). Найти общее число дифракционных максимумов, которое дает эта решетка.

Девять. Восемь. Четыре. Три.

2.1. Какие из перечисленных явлений наблюдаются при прохождении света через узкую щель в непрозрачном экране?

Огибание световой волной краев щели.

Изменение формы фронта световой волны.

Пространственное перераспределение интенсивности света.

Изменение ширины центрального максимума в зависимости от ширины щели.

2.2. Сферическая волна падает на круглое отверстие в непрозрачном экране. Укажите правильные утверждения.

Интенсивность света в точке P зависит от расстояния между экраном и этой точкой.

Интенсивность света в точке P не изменится, если закрыть все четные зоны Френеля.

Интенсивность света в точке P минимальна, если в отверстии укладывается четное число зон Френеля.

Интенсивность света в точке P не изменится, если закрыть все нечетные зоны Френеля.

2.3. Между точечным источником света и экраном помещен непрозрачный диск. На каком рисунке качественно правильно изображено распределение интенсивности света I на экране?

2.4. Дифракционная решетка освещается монохроматическим светом. Как изменится дифракционная картина при увеличении периода решетки ?

Увеличится число главных максимумов.

Уменьшится угол наблюдения каждого максимума.

Сократятся угловые расстояния между соседними максимумами.

Сместится нулевой максимум.

 

2.5. Свет падает нормально на дифракционную решетку. Фиолетовая линия (l₁ = 400 нм) наблюдается в спектре первого порядка под углом j₁ = 8⁰14^¢ . Определите период d дифракционной решетки и угол j₂, под которым наблюдается красная линия (l₂ = 700 нм) в спектре второго порядка.

Укажите сумму номеров ответов.

j₂ = 18⁰ d = 4,2 мкм.

j₂ = 42⁰. d = 2,8 мкм.

j₂ = 30⁰. d = 6,6 мкм.

 

2.6. Монохроматическая рентгеновская волна рассеивается на поликристалле.

Верно ли, что различным конусам соответствуют разные межплоскостные расстояния в изучаемом веществе?

Зависят ли углы дифракции от длины волны?

Зависят ли углы дифракции от межатомных расстояний?

Зависят ли углы дифракции от интенсивности падающей волны?

На какие вопросы Вы ответили "да"?

 

2.7. Задача. На поверхность дифракционной решетки нормально падает монохроматический свет. Постоянная дифракционной решетки в 4,6 раза больше световой волны. Найти общее число дифракционных максимумов, которое теоретически возможно наблюдать в данном случае.

Четыре. Девять.

 

Восемь. Пять.

 

2.8. Задача. Длина решетки l = 15 мм, период (a + b) = 5 мкм. В спектре какого наименьшего порядка получатся раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн Dl = 1Å, если линии лежат в крайней красной части спектра ( от 7800 до 7000 Å)?

Второго Четвертого.

Третьего Пятого.

 

3.1. Какие из перечисленных явлений наблюдаются при дифракции света?

Сохранение формы фронта волны.

Появление светлого пятна за непрозрачной преградой.

Пространственное перераспределение энергии световой волны.

Разложение немонохроматического света в спектр.

3.2. На рисунке изображены зоны Френеля для сферической световой волны (S – точечный источник света, P – точка наблюдения).

Укажите правильные утверждения.

При полностью открытом фронте волны в точке наблюдения P ...

... суммарная интенсивность света равна интенсивности света, обусловленной первой зоной Френеля.

... интенсивность света всегда отлична от нуля при любом конечном расстоянии между точками S и P.

... суммарная интенсивность света равна четверти интенсивности, обусловленной первой зоной Френеля.

... размеры зон Френеля изменятся, если сместить точку P.

 

3.3. Сферическая световая волна падает на круглое отверстие в непрозрачном экране. Точка наблюдения P находится против отверстия.

Какие утверждения Вы считаете правильными ?

С удалением от экрана точки наблюдения P число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, уменьшается.

С удалением точки наблюдения P число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, не изменится.

В точке наблюдения интенсивность света может оказаться близкой к нулю.

Расстояние от точки наблюдения до соответствующих краев двух соседних зон Френеля отличается на половину длины волны.

3.4. Дифракционная решетка освещается белым светом. Укажите правильные утверждения.

В спектре каждого порядка ближе к центральному максимуму расположена фиолетовая граница спектра.

В максимуме нулевого порядка не наблюдается разложения света в спектр.

Спектр первого порядка "растянут" больше, чем спектр второго порядка.

Спектры высоких порядков могут частично перекрываться.

 

3.5. На дифракционную решетку, содержащую 500 штрихов на миллиметр, падает нормально синий свет (l = 4,4 × 10^–7 м). Определите общее число n дифракционных максимумов и угол j, под которым наблюдается максимум наибольшего порядка.

Укажите сумму номеров ответов.

n = 11. j = 90⁰.

n = 9. j = 77⁰.

n = 5. j = 62⁰.

 

3.6. На какие вопросы о дифракции рентгеновских лучей в кристалле Вы ответите "да"?

Изменится ли длина волны при дифракции?

Зависит ли угол q, соответствующий максимуму интенсивности, от частоты волны?

Зависит ли этот угол от расстояния между атомными плоскостями?

Зависит ли этот угол от интенсивности падающей волны?

 

3.7. Задача. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок лучей белого света. Спектры третьего и четвертого порядков частично накладываются друг на друга. На какую длину волны в спектре четвертого порядка накладывается граница (l = 780 нм) спектра третьего порядка?

620 нм. 292 нм.

390 нм. 585 нм.

 

3.8. Задача. При нормальном падении света на прозрачную дифракционную решетку шириной 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия (589,0 и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра. При какой ширине решетки с таким периодом можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной линии с l = 460,0 нм, компоненты которого отличаются на 0,13 нм?

8 см. 6 см.

4 см. 3 см.

 

4.1. Какие из перечисленных явлений наблюдаются при дифракции света?

Изменение частоты световой волны.

Пространственное перераспределение энергии световой волны.

Изменение направления распространения световой волны.

Разложение белого света в спектр.

 

4.2. На рисунке изображены зоны Френеля для сферической световой волны (S – точечный источник света, Р – точка наблюдения).

Какие утверждения Вы считаете правильными?

Амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке P волнами от различных зон, неодинаковы.

Волны от двух соседних зон Френеля приходят в точку Р в противоположных фазах.

Интенсивность света в точке Р уменьшится, если перекрыть все нечетные зоны Френеля.

В отсутствие преграды интенсивность света в точке Р пропорциональна (А₁/2)², где A₁ – амплитуда колебаний точек центральной зоны.

 

4.3. Между точечным источником света и точкой наблюдения поместили непрозрачный круглый экран, закрывающий для точки наблюдения первую зону Френеля.

Как изменится при этом интенсивность света в точке наблюдения по сравнению с полностью открытым фронтом волны?

Не изменится. Возрастет.

Уменьшится. Станет равной нулю.

 

4.4. Дифракционная решетка освещается белым светом.

Укажите правильные утверждения.

Максимумы нулевого порядка для всех длин волн совпадают.

В максимумах всех порядков, кроме нулевого, наблюдается разложение в спектр.

Спектры различных порядков не могут перекрываться.

В спектре данного порядка красная линия наблюдается под большим углом, чем фиолетовая.

 

4.5. На дифракционную решетку, имеющую период d = 2 мкм, падает нормально фиолетовый свет (l = 4 × 10^–7 м). Определите наибольший порядок m спектра и число штрихов N, приходящихся на 1 мм решетки.

Укажите сумму номеров ответов.

m = 5. N = 1000.

m = 10. N = 200.

m = 4. N = 500.

4.6. На грань кристалла падает сплошное ("белое") рентгеновское излучение. Кристалл поворачивается вокруг оси 0, перпендикулярной к плоскости рисунка, и рассеянное излучение регистрируется на фотопленку. Какая точка спектра первого порядка будет соответствовать наибольшей длине волны?

 

 

4.7. Задача. Постоянная дифракционной решетки d = 4 мкм. На решетку падает нормально свет с длиной волны l = 0,59 мкм. Максимумы какого наибольшего порядка дает эта решетка?

Третьего. Четвертого.

Седьмого. Шестого.

4.8. Задача. Какое наименьшее число штрихов должна содержать решетка, чтобы в спектре второго порядка можно было видеть раздельно две желтые линии натрия с длинами волн l₁ = 589,0 нм и l₂ = 589,6 нм?

982. 600.

700. 491.

 

2.5. Ответы на вопросы для самоконтроля по теме «Дифракция света»

 

1.1. ; 2 + 4 + 8 = 14.

1.2. ; 1 + 2 + 8 = 11.

1.3. .

1.4. ; dsinj = kl; 1 + 4 = 5.

1.5. ; dsin30⁰ = 2×700; d = 4×700 нм.

4×700sinj = 3×400; ;

, 2 + 4 =

1.6. ; , 2 + 8 = 10.

 

2.1. ; 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

2.2. ; , 1 + 4 = 5.

2.3. ; В центре – светлое пятно.

 

2.4. ; dsin = Kl, 1 + 2 + 4 = 7.

2.5. ; dsinj = Kl, , .

, j = 30⁰, .

2.6. ; 1 + 2 + 4 = 7.

.

 

3.1. ; 2 + 4 + 8 = 14.

3.2. ; 2 + 4 + 8 = 14.

3.3. ; m ¯ Да. 2) Нет, изменится.

4) Да, если m – четное. 8) Да. 1 + 4 + 8 = 13.

3.4. ; 1 + 2 + 8 = 11.

3.5. ; dsinj = Kl , .

, n = 2×4 + 1 = 9, .

, j » 62⁰ , , 2 + 12 = 14.

3.6. ; ln = C, 2 + 4 = 6.

 

4.1. ; 2 + 4 + 8 = 14.

4.2. ; 1 + 2 + 8 = 11.

4.3. ;

4.4. ; 1 + 2 + 8 = 11.

4.5. ; , .

, , 1 + 12 = 13.

4.6. ; 2dsinq = Kl, K = 1, l­, d = const, q­, sinq­, .

2.6. Ответы на задачи для самоконтроля по теме «Дифракция света»

 

1.7. ; dsinj = Kl, 4l×sinj = 1l, sinj = 0,25, j » 14⁰30¢, 2j = 29⁰.

1.8. ; dsinj = Kl, , .

2.7. ; 4,6 l sinj = Kl, K_max = 4,6 = 4, n = 2×4 + 1 = 9.

2.8. ; , ,

.

3.7. ; .

3.8. ; .

.

4.7. ; , .

4.8. ; , .

 

Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске –
16.28, 16.31–16.33. [2].

 

16.28. Свет от монохроматического источника (l = 600 нм) падает нормально на диафрагму с диаметром отверстия d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии
l = 3 м от нее находится экран. Какое число К зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы? Каким будет центр дифракционной картины на экране: темным или светлым?

Ответ: K = 5, центр – светлый.

 

16.31. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l от точечного источника монохроматического света (l = 600 нм). На расстоянии a = 0,5 l от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D = 1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только центральную зону Френеля.

Ответ: l = 167 м.

 

16.32. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l = 4 м от точечного источника монохроматического света (l = 500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?

Ответ: R = 1 мм.

 

16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D = 1,96 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (l = 600 нм). При каком наибольшем расстоянии l между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?

Ответ: l = 0,8 мм.

 

Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера) на одной щели, на дифракционной решетке – 16.35, 16.36, 16.39, 16.42, 16.45. [2].

 

16.35. На щель шириной a = 20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (l = 500 нм). Найти ширину А изображения щели на экране, удаленной от щели на расстояние l = 1 м.

Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

Ответ: А = 5 см.

 

16.36. На щель шириной a = 6 l падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны l. Под каким углом j будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?

Ответ: j= 30⁰.

 

16.39. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Натриевая линия (l₁ = 589 нм) дает в спектре первого порядка угол дифракции
j₁ = 17⁰8^¢. Некоторая линия дает в спектре второго порядка угол дифракции j₂ = 24⁰12^¢. Найти длину волны l₂ этой линии и число штрихов N₀ на единицу длины решетки.

Ответ: l₂ = 409,9 нм, N₀ = 500 мм^–1.

 

16.42. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию l₂ в спектре третьего порядка накладывается красная линия гелия (l₁ = 670 нм) спектра второго порядка?

Ответ: l₂ = 447 нм – синяя линия спектра гелия.

 

16.45. На дифракционную решетку нормально падает пучок монохроматического света. Максимум третьего порядка наблюдается под углом j = 36⁰48¢ к нормали. Найти постоянную d решетки, выраженную в длинах волн падающего света.

Ответ: d = 5l.

 

Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа–Брэггов – 20.24, 20.25. [2].

 

20.24. На рисунке изображена установка для наблюдения дифракции рентгеновского излучения. При вращении кристалла С только тот луч будет отражаться на фотографическую пластинку В, длина волны которого удовлетворяет уравнению Вульфа–Брэггов. При каком наименьшем угле скольжения q между плоскостью кристалла и пучком рентгеновских лучей были отражены рентгеновские лучи с длиной волны
l = 20 нм? Постоянная решетки кристалла
d = 303 пм.

 

 

Ответ: и q = 1⁰54¢.

 

20.25. Найти постоянную решетки d каменной соли, зная молярную массу
М = 0,058 кг/моль каменной соли и ее плотность r = 2,2×10³ кг/м³. Кристаллы каменной соли обладают простой кубической структурой.

Ответ:.

 

3. Методические указания по выполнению
домашних контрольных заданий