Вынужденные колебания
Пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:
Fx = F0cosWt, (6.44)
где W – круговая частота вынуждающей силы.
Как и в рассмотренных выше случаях на колебательную систему действуют силы упругости и сопротивления. В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид
. (6.45)
Введя обозначения
, (6.46)
запишем уравнение (6.45) следующим образом:
. (6.47)
Дифференциальное уравнение (6.47) описывает вынужденные колебания. Это уравнение является неоднородным. Здесь мы опускаем процедуру нахождения общего решения уравнения (6.47), а приведем лишь его окончательное выражение:
x = Аcos(Wt + a), (6.48)
где амплитуда колебания
, (6.49)
а начальная фаза
. (6.50)
Подставляя выражения (6.48)–(6.50) в формулу (6.47), легко убедиться в том, что (6.48) действительно является решением дифференциального уравнения (6.47).
Таким образом, функция (6.48) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (6.49) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных 
и b) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.
Чтобы определить резонансную частоту Wрез, нужно найти максимум функции (6.49) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференцировав это выражение по W и приравняв к нулю, мы получим условие, определяющее Wрез:
. (6.51)
Уравнение (6.51) имеет три решения:
.
Решение, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено как не имеющее физического смысла ( частота не может быть отрицательной). Таким образом, для резонансной частоты получается одно значение:
. (6.52)
Подставив это значение частоты в (6.49), получим выражение для амплитуды при резонансе:
. (6.53)
Из (6.53) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Согласно (6.52) резонансная частота при тех же условиях (при b = 0) совпадает с собственной частотой колебаний системы .
Контрольные вопросы
1. От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?
2. Можно ли с помощью векторной диаграммы найти результат сложения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной частоты?
3. Как по виду фигуры Лиссажу найти отношение частот складываемых колебаний? В каких случаях это можно сделать?
4. Будет ли справедлива формула (6.41), если коэффициент 
зависит от времени?
5. Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое внимание случаю, когда внешнее воздействие на колебательную систему изменяется по гармоническому закону?
Задачи
1. Колебания материальной точки совершаются по гармоническому закону. В какой из моментов – 1 или – 2 больше кинетическая энергия точки и в какой – больше потенциальная. В какой момент ускорение точки имеет максимальное значение (по модулю)?
2. На двух пружинах подвешены грузы массами m1 и m2, причем m1 > m2. При подвешивании грузов к свободным пружинам последние получили одинаковые удлинения. У какого груза больше период колебаний и какой из грузов при одинаковых амплитудах облает большей энергией? Массой пружин можно пренебречь.
3. Два математических маятника, имеющих одинаковые массы, но разную длину, колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. У какого из маятников энергия колебаний больше?
4. Два маятника – физический в виде однородного стержня и математический, – обладающие одинаковой массой и одинаковой длиной колеблются с одинаковыми угловыми амплитудами. У какого из маятников энергия колебания больше?
5. Сквозь диск радиусом R и массой m проходит ось на расстоянии Rc от центра диска. С каким периодом диск должен колебаться относительно неподвижной оси?
6. Физический маятник представляет собой однородный стержень длиной l. На каком расстоянии Rc от центра тяжести должна быть расположена точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной?
7. В вязкой среде находится маятник. Вязкость среды, масса и длина маятника таковы, что движение его апериодическое. Отведем маятник от положения равновесия и отпустим. Как должен меняться модуль его скорости (непрерывно расти, непрерывно убывать, проходить через максимум, проходить через минимум)?
8. Груз, подвешенный на пружине, двигаясь в вязкой среде, совершает затухающие колебания. Как надо изменить длину пружины (сохраняя все ее характеристики: толщину проволоки, плотность витков и т. п.), чтобы движение груза стало апериодическим? При ответе считать массу пружины весьма малой по сравнению с массой груза.
9. Два шара одинакового диаметра, но обладающие разной массой, подвешены на нитях одинаковой длины. Если их отклонить от положения равновесия, то какой будет колебаться с большим периодом и у какого будет больше логарифмический декремент затухания, если их колебания происходят в реальной среде, обладающей вязкостью?
10. Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем положении груза: скорость u, ускорение a, упругая сила F, кинетическая энергия K, потенциальная энергия U? 1) u, F, U; 2) u, F, K; 3) a, u, U; 4) u, F; 5) u, a, K, U.
11. Пружину растянули на длину Dl, затем еще на Dl. Найти отношение произведенных работ (большей к меньшей), считая деформацию упругой.
12. Две скрепленные между собой пружины с жестокостями k1 и k2 (k1 = 2k2) растянуты силой F. Найти отношение потенциальных энергий пружин U1/U2 считая деформации упругими.1) 
; 2) 2; 3) 4; 4) 1/2; 5) 1/4.
13. В лифте, поднимающемся вверх с постоянным ускорением, гармонически колеблются: а) вертикальный пружинный маятник; б) шарик на нити. Зависят ли периоды колебаний маятников в обоих случаях от ускорения лифта?
14. Из трех гармонических одинаково направленных колебаний с равными амплитудами и частотами, но различными начальными фазами: а) 2p/3; б) 11p/3; в) 14p/3 отобрать пары таких, которые при сложении гасят друг друга. 1) а и б; 2) б и в; 3) а и в; 4) а и б, а также а и в; 5) а и б, а также б и в.