Расчет матриц жесткости и податливости в случае разворота базовой системы координат

Нам необходимо по известной матрице жесткости, определенной во 2-ой системе координат (O₂X₂Y₂Z₂) , определить матрицу жесткости в 3-ей системе координат (O₃X₃Y₃Z₃).

Проведем вывод формул для расчета матрицы жесткости в новой базовой системе координат.

; ;

Заметим

; ; ;

D₂₃ – матрица направляющих косинусов (матрица перехода); полностью и однозначно характеризует взаимное угловое положение двух систем координат.

;

Отметим, что

( 6.1)

Матрицы направляющих косинусов принадлежат классу ортонормированных матриц, для которых справедливо равенство (6.1).

Для величин, заданных во второй и третьей системах координат, характерны следующие выражения:

;;

; ;(6.2)

Запишем уравнения равновесия в матричной форме:

(6.3)

где

; ; .

В блочном виде уравнение равновесия (6.3) при и будет иметь следующий вид:

При

. (6.4)

При

.(6.5)

Для решения поставленной задачи (определения формул для перехода из исходной в новую базовую систему координат ) подставим выражения (6.2) в систему уравнений (6.4):

Умножим слева левую и правую часть этих уравнений на :

Так как согласно выражению (6.1) ,

то окончательно уравнения равновесия получим в следующем виде:

. (6.6)

Сравнив выражения в системах уравнений (6.5) и (6.6), составленные для одного и того же упругого элемента, получим формулы пересчета матрицы жесткости в новой базовой системе координат с осями, развернутыми относительно исходной системы координат:

;