Декартово произведение отношений

Пересечение отношений

Вычитание отношений

Объединение отношений

Определение

Объединением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение s = r₁ È r₂, для которого

a) схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b) реализация отношения представляет множество кортежей, принадлежащих реализации r₁ и/или r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ º R, R₂ º R.

s = r₁ È r₂ = s(R), s = {t_i | t_i Î r₁ и/или t_i Î r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 È r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a1

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b2

c2

a2

b1

c2

a2

b2

c1

a2

b2

c2

Свойства операции:

- коммутативна – r₁ È r₂ º r₂ È r₁

- ассоциативна – r₁ È (r₂ È r₃) = (r₁ È r₂) È r₃ = r₁ È r₂ È r₃

Определение

Вычитанием двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение s = r₁ – r₂, для которого

a) схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b) реализация отношения представляет множество кортежей, принадлежащих реализации r₁, за исключением тех, которые имеются в r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ º R, R₂ º R.

s = r₁ – r₂ = s(R), s = {t_i | t_i Î r₁ и t_i Ï r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 – r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b1

c2

a2

b2

c2

Свойства операции:

- не коммутативна

- не ассоциативна

Определение

Пересечением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение s = r₁ Ç r₂, для которого

a) схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b) реализация отношения представляет множество кортежей, содержащихся и в r₁, и в r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ º R, R₂ º R.

s = r₁ Ç r₂ = s(R), s = {t_i | t_i Î r₁ и t_i Î r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 Ç r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b2

c2

Свойства операции:

- коммутативна – r₁ Ç r₂ º r₂ Ç r₁

- ассоциативна – r₁ Ç (r₂ Ç r₃) = (r₁ Ç r₂) Ç r₃ = r₁ Ç r₂ Ç r₃

Операцию пересечения можно выразить через операцию вычитания:

r₁ Ç r₂ = r₁ – (r₁ – r₂)

Здесь отношения r₁(R₁) и r₂(R₂) могут иметь разные схемы, не обязательно совместимые по объединению. Перед выполнением операции декартова произведения необходимо переименовать схемы отношений R₁ или R₂ так, чтобы они не имели одноименных атрибутов.

Определение

Декартовым произведением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), у которых R₁ Ç R₂ = 0, называется отношение s = r₁ ´ r₂, для которого

a) схема отношения определяется сцеплением (объединением) схем R₁ и R₂,

b) реализация отношения представляет множество кортежей, которое получается путем сцепления каждого кортежа из r₁ с каждым кортежем из r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), R₁(A₁, A₂, …, A_m), r₂(R₂), R₂(B₁, B₂, …, B_n), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ Ç R₂ = 0

s = r₁ ´ r₂ = s(R), R(A₁, A₂, …, A_m, B₁, B₂, …, B_n), s = {u_i v_j | u_i Î r₁, v_j Î r₂}

Пример:

r1

(A

B)

r2

(X

Y

Z)

s = r1 ´ r2

(A

B

X

Y

Z)

a1

b1

x1

y1

z2

a1

b1

x1

y1

z2

a2

b1

x2

y1

z1

a1

b1

x2

y1

z1

x3

y1

z1

a1

b1

x3

y1

z1

a2

b1

x1

y1

z2

a2

b1

x2

y1

z1

a2

b1

x3

y1

z1

Свойства операции:

- коммутативна – r₁ ´ r₂ º r₂ ´ r₁

- ассоциативна – r₁ ´ (r₂ ´ r₃) = (r₁ ´ r₂) ´ r₃ = r₁ ´ r₂ ´ r₃

В теории множеств данная операция и не коммутативна, и не ассоциативна, так как в множествах определен порядок перечисления элементов в кортеже. Так как одно из свойств реляционной модели данных – отсутствие упорядоченности атрибутов, данная операция приобретает указанные свойства.