Метод решения задачи Коши, основанный на разложении решения в ряд Тейлора
Задача Коши. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши
План
- Задача Коши. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде:
.
Это уравнение имеет бесконечное множество решений (если имеет решение вообще) . Например, если , то решением уравнения будет бесконечн много функций вида: . Если в некоторой точке задать значение , то мы получим единственное решение. Такая задача, определяющая единственное решение дифференциального уравнения,
(1)
называется задачей Коши.
Только некоторые дифференциальные уравнения могут быть решены аналитически. Чаще решения дифференциальных уравнений – единственное решение задачи Коши для этих уравнений, приближают при помощи численных методов.
Будем рассматривать пошаговые методы. Для решения задачи (1) на отрезке генерируется последовательность точек , , ..., , принадлежащих , возможно с переменной длиной шага , и в каждой точке значение приближается некоторым числом . Если вычисляется только при помощи , то такие методы называются одношаговые; если вычисляется по значениям ,..., , то такие методы называются многошаговые.
- Метод решения задачи Коши, основанный на разложении решения в ряд Тейлора
Одним из методов решения задачи Коши является метод, основанный на разложении решения вряд Тейлора.
Пусть на необходимо решить задачу (1). Возьмем производную от уравнения , присутствующего в (1), по :
, . (10)
(Например, если , то ). Дальше можно найти , дифференцируя полученное равенство (10), аналогично и т.д. Подставляя , получим:
Тогда возможно приблизить значение усеченной суммой соответствующего ряда Тейлора, построенного с центром в точке :
,
т.е.
(2)
Однако, если больше радиуса сходимости ряда , то погрешность формулы (2) не стремится к 0. В этом случае сегмент разбивают на части . Будем последовательно получать приближения к значениям :
следующим образом. Если уже найдено, мы вычисляем и тогда приближение функции в точке вычисляются по формуле:
, (3)
в предположении, что область сходимости соответствующего ряда включает в себя отрезок .