Системы счисления. Перевод чисел в различные системы счисления
Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления (CC).
СС — это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения, т.е. способ записи чисел.
По способу изображения чисел СС делятся на позиционные и непозиционные. Количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной СС, называется основанием СС.Позиционная СС – арабская десятичная система, с основанием 10 (цифры от 0 до 9). Непозиционная СС – римская, в которой для каждого числа используется специфическое сочетание символов (семь знаков: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000).
Двоичная ССимеет основание 2 и использует всего две цифры: 0 и 1. В 16-ой СС используется 16 различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Перевод из недесятичной СС в десятичную.
Пример.
Внимание:цифра в записи числа – 1-ый множитель;
основание – 2-ой множитель;
позиция цифры – порядок степени второго множителя.
543210-1-2-3 – номера позиций (степень), т.е. разряд
101110,101(2) = 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3 =
= 32 + 8 + 4 + 2 + 0,5 + 0,125 = 46,625(10) = 4 * 101 + 6 * 100 + 6 * 10-1 + 2 * 10-2 + 5 * 10-3.
Примечание: перевод целых чисел можно делать на калькуляторе.
Перевод чисел из 10-ой СС в другую осуществляется с помощью
правила деления для целой части и правила умножения для дробной части.
Правило деления. Необходимо последовательно делить исходное число и получаемые частные на основание, выписывая остатки. Деление продолжается до тех пор, пока очередное частное не станет меньше основания. Затем нужно выписать последнее частное и за ним – полученные остатки в обратном порядке, заменив их цифрами соответствующей СС.
Правило умножения. Необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получаемых произведений на основание. Целые части произведений, замененные цифрами соответствующей СС, и дают искомый код. В общем случае перевод осуществляется приблизительно.
Перевод чисел из 2-ой СС в 16-ую (8-ую) СС и обратнопроизводится без пересчета простой подстановкой. Такое упрощение объясняется соотношением оснований: 16 = 24; 8 = 23.
Каждая цифра в 16-ой (8-ой) записи числа заменяется четырьмя (тремя) двоичными, обозначающими то же число. Двоичное число разбивается на тетрады (триады), каждая заменяется соответствующей 16-ичной цифрой. Шестнадцатеричные коды используются для сокращенной записи двоичных кодов. Ранее и восьмеричные коды использовались.
Двоичная арифметика.
Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел. 0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10