Наибольшее известное простое

Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.

Просто́е число́ — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,139, 149, 151, 157,

Взаимно-простые числа 27, и 28 у них нет общих делителей, кроме единицы. Взаимно непростые 27,33 у них есть общий делитель 3

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа^[1]. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 2³¹ − 1 = 2147483647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на февраль 2011 года является 2^43112609 − 1. Оно содержит 12 978 189десятичных цифр и является простым числом Мерсенна (M_43112609). Его нашли 23 августа 2008 года на математическом факультете университета UCLA в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила^[2] денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Числа Ферма — числа вида ,где n — неотрицательное целое число

Числа Вудалла (англ.) — числа вида

Числа Куллена (англ.) — числа вида

Числа Прота — числа вида , причем k нечетно и 2ⁿ > k

Великая теорема Ферма -

одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Для любого натурального числа n > 2уравнение

не имеет натуральных решений a, b и c.

3²+4²=5², 9+16=25,3³+4³=5³, 27+64=91,и не равно125

Для случая n = 3 эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после 7 лет напряжённой работы), но в нём вскоре обнаружился серьёзный пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить^[5]. В1995 году был опубликован завершающий вариант^[6].

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число, и целое a не делится на p, то a ^{p − 1} ≡ 1 (mod p) (или a ^{p − 1} − 1 делится на p)., допустим а=3, р=5, а^5-1=4 (mod 5)=1, Или (a ^{p − 1} − 1 делится на p) 81(mod 5)=1, или а^5-1=4-1 делится на р=(81-1)/5=16

Иная формулировка:

Для любого простого p и целого a, (a ^p − a) делится на p.

Например: а=5, р=3, 5 в степени 3 равно 125- 5 =120 Число 120 делится на 3тогда получаем 120/3=40,

а=3, р=5, а в степени 5, 3⁵= 3*3*3*3*3=9*27=243, Далее, (a ^p − a) делится на p, 243-3=240, 240/5=28

Делимость

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.